cho hệ phương trình:
x+ay=3 và ax-y=2
a)giải hệ phương trình khi a=2
b)tìm điều kiện của a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãm x+y>0
cho hệ phương trình:
x+ay=3 và ax-y=2
a)giải hệ phương trình khi a=2
b)tìm điều kiện của a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãm x+y>0
.
`a)` `\text{Thay a = 2 vào hệ pt :}`
` ⇔`\(\left \{ \begin{array}{l}x+2y=3\\2x-y=2\end{array} \right.\) `⇔`\(\left\{ \begin{array}{l}x+2y=3\\4x-2y=4\end{array} \right.\) `⇔` \(\left\{ \begin{array}{l}5x=7\\y=2x-2\end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l}x=\dfrac{7}{5}\\y=\dfrac{4}{5}\end{array} \right.\)
`\text{Vậy hpt có nghiệm duy nhất}` `(x,y) = ( 7/5 ; 4/5 )`
`b)` \(\left\{ \begin{array}{l}x+ay=3(1)\\ax-y=2(2)\end{array} \right.\)
`\text{Nếu a = 0 thì hệ pt tương đương :}`
\(\left\{ \begin{array}{l}x=3\\x=-2\end{array} \right.\)
`\text{Vậy x + y = 1 > 0 thỏa mãn}`
`\text{Vậy a = 0 là một nghiệm của bài toán}`
`\text{Nếu a # 0 thì hệ pt tương đương }`
\(\left\{ \begin{array}{l}x+ay=3\\a^2x-ay=2a(4)(\times (2)vớia)\end{array} \right.\)
`⇔`\(\left\{ \begin{array}{l}x+ay=3\\ (a² + 1)x = 2a + 3 ( lấy (3) + (4))\end{array} \right.\)
`⇔` \(\left\{ \begin{array}{l}y=\frac{3-x}{a}\\x=\frac{(2a + 3)}{(a² + 1)}\end{array} \right.\)
`⇔`\(\left\{ \begin{array}{l}y=\frac{(3a-20)}{(a^2+1)}\\x=\frac{(2a+3)}{(a^2+1)}\end{array} \right.\)
`⇒` `x+y = ((5a + 1))/((a^2 + 1)) > 0 ⇔ 5a + 1 > 0 ⇔ a > -1/5`