Cho hệ phương trình $\left \{ {{(m+1)x-y=m+1} \atop {x+(m-1)y=2}} \right.$ Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện: S

0 bình luận về “Cho hệ phương trình $\left \{ {{(m+1)x-y=m+1} \atop {x+(m-1)y=2}} \right.$ Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện: S”

1. Đáp án:

   \(Max = \dfrac{7}{8}\)

   Giải thích các bước giải:

   \(\begin{array}{l}
   \left\{ \begin{array}{l}
   \left( {m + 1} \right)\left( {m – 1} \right)x – \left( {m – 1} \right)y = \left( {m + 1} \right)\left( {m – 1} \right)\\
   x + \left( {m – 1} \right)y = 2
   \end{array} \right.\\
    \to \left\{ \begin{array}{l}
   \left( {{m^2} – 1 + 1} \right)x = {m^2} – 1 + 2\\
   y = \left( {m + 1} \right)x – m – 1
   \end{array} \right.\\
    \to \left\{ \begin{array}{l}
   x = \dfrac{{{m^2} + 1}}{{{m^2}}}\\
   y = \left( {m + 1} \right).\dfrac{{{m^2} + 1}}{{{m^2}}} – m – 1
   \end{array} \right.\\
    \to \left\{ \begin{array}{l}
   x = \dfrac{{{m^2} + 1}}{{{m^2}}}\\
   y = \dfrac{{{m^3} + m + {m^2} + 1 – {m^3} – {m^2}}}{{{m^2}}}
   \end{array} \right.\\
    \to \left\{ \begin{array}{l}
   x = \dfrac{{{m^2} + 1}}{{{m^2}}}\\
   y = \dfrac{{m + 1}}{{{m^2}}}
   \end{array} \right.\\
   DK:m \ne 0\\
   Có:S = x + y = \dfrac{{{m^2} + 1}}{{{m^2}}} + \dfrac{{m + 1}}{{{m^2}}}\\
    = \dfrac{{{m^2} + m + 2}}{{{m^2}}}\\
    = 1 + \dfrac{1}{m} + \dfrac{2}{{{m^2}}}\\
   Đặt:\dfrac{1}{m} = t \to \dfrac{1}{{{m^2}}} = {t^2}\\
   S = 1 + t + 2{t^2}\\
    = 2{t^2} + 2.t\sqrt 2 .\dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{7}{8}\\
    = {\left( {t\sqrt 2  + \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} + \dfrac{7}{8}\\
   Do:{\left( {t\sqrt 2  + \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} \ge 0\forall t\\
    \to {\left( {t\sqrt 2  + \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} + \dfrac{7}{8} \ge \dfrac{7}{8}\\
    \to Max = \dfrac{7}{8}\\
    \Leftrightarrow t\sqrt 2  + \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} = 0\\
    \to t =  – \dfrac{1}{4}\\
    \to x =  – 4
   \end{array}\)

   Bình luận