Cho hệ phương trình : $\left \{ {{x + my = m +1} \atop {mx + y = 3m -1}} \right.$ Tìm m để hệ trên có nghiệm duy nhất sao cho x.y đạt giá trị nhỏ nh

Đáp án: $m=0$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$mx+y=3m-1$

$\to y=3m-1-mx$

Lại  có:

$x+my=m+1$

$\to x+m(3m-1-mx)=m+1$

$\to x+3m^2-m-m^2x=m+1$

$\to x(1-m^2)=-3m^2+2m+1$

$\to x(m^2-1)=3m^2-2m-1$

$\to x(m-1)(m+1)=(m-1)(3m+1)$

Để hệ có nghiệm duy nhất

$\to (m-1)(m+1)\ne 0$

$\to m\ne \pm1$

$\to x=\dfrac{3m+1}{m+1}$

$\to y=3m-1-m\cdot \dfrac{3m+1}{m+1}=\dfrac{m-1}{m+1}$

$\to xy=\dfrac{3m+1}{m+1}\cdot\dfrac{m-1}{m+1}$

$\to xy=\dfrac{3m^2-2m-1}{(m+1)^2}$

$\to xy+1=\dfrac{3m^2-2m-1}{(m+1)^2}+1$

$\to xy+1=\dfrac{3m^2-2m-1+(m+1)^2}{(m+1)^2}$

$\to xy+1=\dfrac{4m^2}{(m+1)^2}\ge 0$

$\to xy\ge -1$

Dấu = xảy ra khi $m=0$ thỏa mãn $m\ne \pm1$