Cho hệ phương trình: mx + (m-1)y = 3
4x + my = 6
a) Giải hệ phương trình theo m
b) Tìm m nguyên để hệ phương trình có nghiệm nguyên
Cho hệ phương trình: mx + (m-1)y = 3
4x + my = 6
a) Giải hệ phương trình theo m
b) Tìm m nguyên để hệ phương trình có nghiệm nguyên
Đáp án:
`↓↓`
Giải thích các bước giải:
a,PT(2)
`<=>4x=6-my`
`PT(1)`
`<=>4mx+4y(m-1)=12`
Thế `4x=6-my` vào PT(1) ta có:
`m(6-my)+4my-4y=12`
`<=>6m-m^2y+4my-4y=12`
`<=>-y(m^2-4m+4)=12-6m`
`<=>y(m-2)^2=6m-12`
Hệ pt có nghiệm duy nhất `<=>m ne 2`
`<=>y=6/(m-2)(m ne 2)`
`<=>4x=6-my`
`<=>4x=6-(6m)/(m-2)`
`<=>4x=(12)/(m-2)`
`<=>x=3/(m-2)`
HPT có nghiệm `(x,y)=(3/(m-2),6/(m-2))`
b,Để pt có nghiệm nguyên
`<=>3 vdots m-2,6 vdots m-2`
`<=>m-2 in Ư(3)=(+-1,+-3),m-2 in Ư(6)={+-1,+-2,+-3 +-6}`
`<=>m-2 in {+-1,+-3}`
`<=>m in {3,1,-1,5}`
Vậy `m={3,+-1,5}` thì x,y nguyên
Đáp án + giải thích các bước giải:
$ \left\{\begin{matrix} mx+(m-1)y=3(1)\\4x+my=6(2) \end{matrix}\right.$
Từ `(2)->x=(6-my)/4 (3)`
Thế `(3)` vào `(1)`, có:
`m. (6-my)/4 +(m-1)y=3`
`->m(6-my)+4y(m-1)=12`
`->6m-m^2y+4ym-4y=12`
`->y(-m^2+4m-4)=12-6m`
`->y(m^2-4m+4)=6m-12`
`->y(m-2)^2=6(m-2) (4)`
Với `m=2`, phương trình `(4)` có dạng:
`0y=0`
`->` Phương trình có vô số nghiệm
`->` Hệ phương trình có vô số nghiệm
Với `m\ne2`, phương trình có nghiệm duy nhất:
`y=(6(m-2))/(m-2)^2=6/(m-2)`
`->`Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
$ \left\{\begin{matrix} x=\dfrac{6-m.\dfrac{6}{m-2}}{4}=\dfrac{6m-12-6m}{m-2}=\dfrac{-12}{m-2}\\y=\dfrac{6}{m-2} \end{matrix}\right.$
b) Hệ phương trình có nghiệm nguyên khi
$ \left\{\begin{matrix} x=\dfrac{-12}{m-2}∈Z\\y=\dfrac{6}{m-2}∈Z \end{matrix}\right.$
`->m-2∈ƯC(6,12)={±1;±2;±3;±6}`
`->m∈{3;1;4;0;5;-1;8;-4}`