Cho hệ PT: $\left \{ {{x+my=2} \atop {mx-2y=1}} \right.$ . a) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x>0 và y<0 b) Tìm số nguyên m để hệ c

a. Hệ có nghiệm duy nhất: $x=$$\frac{m+4}{m^2+2}$ và $y=$ $\frac{2m-1}{m^2+2}$ (∀m)

Ta có $x>0$ ⇔ $\frac{m+4}{m^2+2}>0$ ⇒ $m>-4$

          $y<0$ ⇔ $\frac{2m-1}{m^2+2}<0$ ⇒ $m<$$\frac{1}{2}$ 

Suy ra: $-4<m<^{}$ $\frac{1}{2}$ 

Do $m$ là số nguyên ⇒ $m=-3,-2,-1,0$

b. Với ∀m hệ PT có nghiệm duy nhất: $x=$$\frac{m+4}{m^2+2}$ và $y=$ $\frac{2m-1}{m^2+2}$ 

Ta có: $x$ là số nguyên ⇔ $m+4$ chia hết cho $m^2+2$

⇒ $m^2+2$ $\leq$ | m+4|$

$y$ là số nguyên ⇔ $2m-1$ chia hết cho $m^2+2$

⇒ $m^2+2^{}$ $\leq$$ |2m-1|$

Điều kiện của m là:

$\left \{ {{m^2+2^{}\leq |2m-1| } \atop {m^2+2 \leq | m+4|}} \right.$ 

Chỉ cần xét $m^2+2^{}$ $\leq$$ |2m-1|$ 

          ⇔  \(\left[ \begin{array}{l}2m-1=m^2+2\\2m-1\leq-(m^2+2)\end{array} \right.\) 

          ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}m^2+3-2m\leq0\\m^2+2m-1\leq0\end{array} \right.\) 

          ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}(m-1)^2+2\leq0 (vô lí)\\(m+1)^2\leq0\end{array} \right.\) 

          ⇒ $m=-1$

Khi $m=-1$ ⇒ $x=$$\frac{-1+4}{1+2}=1,y=$ $\frac{-3}{1+2}=-1$ ( thỏa mãn do m nguyên)

Vậy $m=-1$ thì hệ PT có nghiệm duy nhất là các số nguyên