Cho hệ pt mx +y =7 2x-y=-4.Gọi (x, y) là nghiệm của hệ phương trình. Xác định giá trị của m đề P=x2 +y2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nho nhất

Đáp án:

${P_{\min }} = \dfrac{{16}}{5} \text{dấu “=” xảy ra }\Leftrightarrow m =  – \dfrac{1}{8}\left( {tm} \right)$

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
mx + y = 7\\
2x – y =  – 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 2x + 4\\
\left( {m + 2} \right)x = 3
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{3}{{m + 2}}\left( {m \ne  – 2} \right)\\
y = \dfrac{6}{{m + 2}} + 4 = \dfrac{{4m + 14}}{{m + 2}}
\end{array} \right.\\
P = {x^2} + {y^2} = \dfrac{9}{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}} + \dfrac{{{{\left( {4m + 14} \right)}^2}}}{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}\\
 = \dfrac{{16{m^2} + 112m + 205}}{{{m^2} + 4m + 4}} = 16 + \dfrac{{48m + 141}}{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}\\
 = 16 + \dfrac{{48}}{{m + 2}} + \dfrac{{45}}{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}\\
 = 45{\left( {\dfrac{1}{{m + 2}} + \dfrac{8}{{15}}} \right)^2} + \dfrac{{16}}{5} \ge \dfrac{{16}}{5}\\
{P_{\min }} = \dfrac{{16}}{5} \Leftrightarrow m =  – \dfrac{1}{8}\left( {tm} \right)
\end{array}\)