Cho hệ sau: $\left \{ {{\sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}=2} \atop {x+y=m}} \right.$ Tìm m để HPT có nghiệm

Điều kiện $x\ge 2, y\ge 1$. Đặt $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x – 2}  = a\\ \sqrt {y – 1}  = b \end{array} \right.\left( {a,b \ge 0} \right)$  và $a+b=2$

$\begin{array}{l} a + b = 2 \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 4\\  \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2ab = 4\\  \Leftrightarrow x + y – 3 + 2ab = 4\\  \Leftrightarrow m – 3 + 2ab = 4\\  \Leftrightarrow ab = \dfrac{{7 – m}}{2} \end{array}$

Do đó $a,b$ là nghiệm không âm của phương trình:

$\begin{array}{l} 2{t^2} – 4t + 7 – m = 0\\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ‘ \ge 0\\ S \ge 0\\ P \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4 – 2\left( {7 – m} \right) \ge 0\\ 2 \ge 0\\ \dfrac{{7 – m}}{2} \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 5 \le m \le 7 \end{array}$