Cho hình bình hành ABCD có AB=2AD.Gọi E,F thứ tự trung điểm của AB và CD.a)Các tứ giác AEFD,AECF là hình gì?Vì sao?,b)M là giao điểm AF và DE,N là giao điểm BF và CE Chứng minh EMFN là hình chữ nhật.c)Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để EMFN là hình vuông?
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Có : AE=BE=1/2AB(gt)
DF=CF=1/2DC(gt)
mà AB=CD
⇒ AE=BE=DF=CF
Xét tứ giác AEFD có:
AE=DF (cmt) và AE//DF( AB//CD)
⇒ Tứ giác AEFD là hình bình hành
Xét tứ giác AECF có :
AE = CF ( cmt) và AE//CF ( AB//CD)
⇒Tứ giác AECF là hình bình hành
b) M là giao điểm của AF và DE
⇒ AM = FM=1/2AF (tính chất đường chéo hình bình hành) (1)
N là giao điểm của BF và CE
⇒ EN = CN=1/2CE (tính chất đường chéo hình bình hành)(2)
Có AF = AM + FM
CE = EN + CN
mà AE = CE ( AECF là hình bình hành)
Từ (1) và (2) suy ra MF= EN và MF//EN ( AF//CE )
⇒ EMFN là hình bình hành (3)
Có AE = AD ( cùng bằng 2AB ) và AEFD là hình bình hành nên AEFD là hình thoi
⇒ AF ⊥ DE tại M hay ∠EMF = 90 độ (4)
Từ (3) và (4) suy ra : EMFN là hình chữ nhật
c) Hình chữ nhật EMFN là hình vuông
⇔ ME = MF ⇔ DE = AF (vì DE = 2ME, AF = 2MF)
⇔ Hình thoi AEFD có hai đường chéo bằng nhau
⇔ AEFD là hình vuông ⇔ ∠A=90 độ.
⇔ Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.
Như vậy, hình chữ nhật EMFN là hình vuông nếu ABCD là hình chữ nhật