cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a, AD = 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của AD, Góc giữa SB và m

0 bình luận về “cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a, AD = 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của AD, Góc giữa SB và m”

1. Đáp án:

   $d(BH;SD) = \dfrac{a\sqrt{10}}{5}$

   Giải thích các bước giải:

   Gọi $M$ là trung điểm $BC$

   $\Rightarrow ABMH$ là hình vuông

   $\Rightarrow AM=BH = AB\sqrt2 = a\sqrt2$

   Ta có:

   $SH\perp (ABCD) \, (gt)$

   $\Rightarrow \widehat{(SB;(ABCD))} = \widehat{SBH} = 45^o$

   mà $\tan\widehat{SBH} = \dfrac{SH}{BH}$

   nên $SH = BH.\tan45^o = BH = a\sqrt2$

   Mặt khác ta cũng có: $MCDH$ là hình vuông

   $\Rightarrow MD = CH = CD\sqrt2 = a\sqrt2$

   Gọi $O = CH\cap MD$

   $\Rightarrow OH = OC= OD = OM = \dfrac{a\sqrt2}{2}$

   Ta có:

   $BH//DM$

   $\Rightarrow BH//(SDM)$

   $\Rightarrow d(BH;SD) = d(BH;(SDM)) = d(H;(SDM))$

   Do $SH\perp (ABCD)$

   $HD=HM = a$

   $\Rightarrow SM = SD$

   $\Rightarrow SO\perp DM$

   mà $HO\perp DM$

   $\Rightarrow DM\perp (SHO)$

   Từ $H$ kẻ $HK\perp SO$

   $\Rightarrow DM\perp HK$

   $\Rightarrow HK\perp (SDM)$

   $\Rightarrow HK = d(H;(SDM))$

   Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

   $\dfrac{1}{HK^2} = \dfrac{1}{SH^2} + \dfrac{1}{HO^2}$

   $\Rightarrow HK = \dfrac{SH.HO}{\sqrt{SH^2 + HO^2}} = \dfrac{a\sqrt{10}}{5}$

   Vậy $d(BH;SD) = \dfrac{a\sqrt{10}}{5}$

   Bình luận

2. Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $H$

   Hình chiếu của $B$ lên $(ABCD)$ là $B$

   $→$ Góc giữa $SB$ và mặt đáy là $\widehat{SBH}=45^o$

   Ta có:

   $HB=\sqrt[]{AH^2+AB^2}$

   $=\sqrt[]{a^2+a^2}=a\sqrt[]{2}$

   Vì $ΔSHB$ vuông cân nên $SH=HB=a\sqrt[]{2}$

   Gọi $E$ là trung điểm $BC$, ta có:

   $d(SD,BH)=d(BH,(SDE))=d(H,(SDE))$

   Kẻ $HK⊥DE$, $HF⊥SK → d(H,(SDE))=HF$

   Xét $ΔEHD$ vuông có:

   $HK=\dfrac{HD.HE}{\sqrt[]{HD^2+HE^2}}=\dfrac{a\sqrt[]{2}}{2}$

   $→ HF=\dfrac{SH.HK}{\sqrt[]{SH^2+HK^2}}=\dfrac{a\sqrt[]{10}}{5}$

   Vậy khoảng cách giữa $SD$ và $BH$ là $\dfrac{a\sqrt[]{10}}{5}$.

   Bình luận