Toán Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ C đến 16/07/2021 By Daisy Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ C đến (SBD) bằng ?? Giải ngắn gọn dễ hiểu với ạ!!!
Đáp án: $d(C;(SBD))=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$ Giải thích các bước giải: Gọi $O$ là tâm của đáy $\Rightarrow OA = OB = OC = OD =\dfrac{a\sqrt2}{2}$ Trong $mp(SAB)$ kẻ $SH\perp AB$ $\Rightarrow SH =\dfrac{a\sqrt3}{2}$ Ta có: $\begin{cases}(SAB)\perp (ABCD)\quad (gt)\\(SAB)\cap (ABCD)= AB\\SH\perp AB\quad \text{(cách dựng)}\\SH\subset (SAB)\end{cases}$ $\Rightarrow SH\perp (ABCD)$ Từ $H$ kẻ $HM\perp BD$ $\Rightarrow HM//OA$ mà $AH = HB =\dfrac12AB$ nên $HM =\dfrac12OA =\dfrac{a\sqrt2}{4}$ Ta có: $\begin{cases}SH\perp BD\quad (SH\perp (ACBD))\\HM\perp BD \quad \text{(cách dựng)}\end{cases}$ $\Rightarrow BD\perp (SHM)$ Trong $mp(SHM)$ kẻ $HK\perp SM$ $\Rightarrow BD\perp HK$ $\Rightarrow HK\perp (SBD)$ $\Rightarrow HK = d(H;(SBD))$ Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SHM$ vuông tại $H$ đường cao $HK$ ta được: $\quad\dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{SH^2} +\dfrac{1}{HM^2}$ $\Rightarrow HK =\dfrac{SH.HM}{\sqrt{SH^2 + HM^2}}= \dfrac{\dfrac{a\sqrt3}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt2}{4}}{\sqrt{\dfrac{3a^2}{4} + \dfrac{a^2}{8}}}$ $\Rightarrow HK = \dfrac{a\sqrt{21}}{14}$ Gọi $AI= d(A;(SBD))$ $\Rightarrow AI//HK$ mà $AH = HB =\dfrac12AB$ nên $AI = 2HK = \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$ Mặt khác: $\quad V_{S.ABD}=V_{S.BCD}= \dfrac12S_{ABCD}$ $\Leftrightarrow \dfrac13S_{SBD}.d(A;(SBD))= \dfrac13S_{SBD}.d(C;(SBD))$ $\Leftrightarrow d(A;(SBD))= d(C;(SBD))$ Vậy $d(C;(SBD))=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$ Trả lời