Cho hinh chóp SABCD co day ABCD la hinh vuông SA=a va vuông góc với mặt phẳng ABCD goi m,n lần lượt là trung điểm canh AD,DC góc giữa mặt phẳng SBM va mặt phẳng ABCD =45° tinh khoang cách tu D đến SBM
Cho hinh chóp SABCD co day ABCD la hinh vuông SA=a va vuông góc với mặt phẳng ABCD goi m,n lần lượt là trung điểm canh AD,DC góc giữa mặt phẳng SBM va mặt phẳng ABCD =45° tinh khoang cách tu D đến SBM
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Gọi I là giao điểm của AN và BM, dễ dàng chứng minh được AN vuông góc với BM tại I
Ta có:
BM vuông góc với AI
BM vuông góc với SA
=> BM vuông góc với (SAI) => BM vuông góc với SI
=> Góc giữa (SBM) và (ABCD) là góc SIA = 45 độ.
AD giao (SBM) = M
=> d(A;(SBM)) / d(D;(SBM)) = AM/DM = 1
=> d(A;(SBM)) = d(D;(SBM))
Trong (SAI) kẻ AH vuông góc với SI ta có:
BM vuông góc với (SAI) => BM vuông góc với AH
=> AH vuông góc với (SBM)
=> d(A;(SBM)) = AH
Tam giác SAI vuông tại A có góc SIA =45 độ => Tam giác SAI vuông cân tại A
=> AI = SA = a
Xét tam giác vuông AHI có SH = AI . sin 45 độ = (a căn 2) / 2
Vậy d(D;(SBM)) = (a căn 2) / 2
Đặt cạnh hình vuông là x. Kẻ $AH \perp MB$. Lại có $MB \perp SA$. Vậy $MB \perp (SAH)$. Vậy góc giữa (SMB) và (ABCD) là góc $\widehat{SHA} = 45$. Lại có tam giác SAH vuông taị A, vậy tam giác SAH là vuông cân tại A. Vậy AH = SA = a.
Do M là trung điểm AD nên kcach d(D, (SBM)) = d(A,(SBM)).
Kẻ $AK \perp SH$. Do $MB \perp (SAH)$ nên $MB \perp AK$. Vậy $AK \perp (SMB)$.
Vậy d(A,(SMB)) = AK.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAH ta có
$\dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AK^2}$
<->$\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a^2} = \dfrac{1}{AK^2}$
<->$ AK = \dfrac{a \sqrt{2}}{2}$.
Vậy d(D, (SMB)) = $\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$