Cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết cạnh đáy bằng 2a. Tính V S.ABCD trong các trường hợp sau:
a. Góc giữa cạnh bên và đáy bằng 60 độ
b. Góc giữa mặt bên và đáy bằng 45 độ
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết cạnh đáy bằng 2a. Tính V S.ABCD trong các trường hợp sau:
a. Góc giữa cạnh bên và đáy bằng 60 độ
b. Góc giữa mặt bên và đáy bằng 45 độ
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
– Xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy: là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng đó và cùng vuông góc với giao tuyến.
– Tính diện tích đáy SABC.
– Tính chiều cao SG.
– Tính thể tích theo công thức V=13Sh.
$∆ABC$ đều cạnh $2a$
$\Rightarrow S_{ABC}= \dfrac{(2a)^2\sqrt3}{4} = a^2\sqrt3$
Gọi $O$ là tâm mặt đáy $ABC$
$\Rightarrow OA = OB = OC = \dfrac{AB\sqrt3}{3} = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$
Gọi $M$ là trung điểm $BC$
$\Rightarrow AM\perp BC$
$\Rightarrow OM = \dfrac{1}{2}OA = \dfrac{a\sqrt3}{3}$
Do $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều
nên $SO\perp (ABC)$
$\Rightarrow \widehat{(SA;(ABC))} = \widehat{SAO}$
a) Ta có: $\widehat{SAO} = 60^o $
$\Rightarrow SO = AO.\tan60^o = \dfrac{2a\sqrt3}{3}.\sqrt3 = 2a$
Ta được:
$V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}.SO = \dfrac{1}{3}\cdot a^2\sqrt3\cdot 2a = \dfrac{2a^3\sqrt3}{3}$
b) Ta có:
$SB = SC$
$\Rightarrow ∆SBC$ cân tại $S$
Lại có $M$ là trung điểm $BC$
$\Rightarrow SM\perp BC$
Bên cạnh đó:
$\begin{cases}(SBC)\cap (ABC) = BC\\SM\perp BC;\,SM\subset (SBC)\\AM\perp BC;\, AM\subset(ABC)\end{cases}$
$\Rightarrow \widehat{((SBC);(ABC))} = \widehat{SMA} = 45^o$
$\Rightarrow SO = OM.\tan45^o = \dfrac{a\sqrt3}{3}$
Ta được:
$V_{S.ABC}=\dfrac{1}{3}S_{ABC}.SO = \dfrac{1}{3}\cdot a^2\sqrt3\cdot \dfrac{a\sqrt3}{3} = \dfrac{a^3}{3}$