Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a , cạnh đáy bằng a . Tính thể tích khối chóp và chân đường cao d đến ( SAB) ,mẶt bên SAB
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a , cạnh đáy bằng a . Tính thể tích khối chóp và chân đường cao d đến ( SAB) ,mẶt bên SAB
Gọi $AC\cap BD = O$
$\Rightarrow SO\perp (ABCD)$
Ta có:
$AB= BC = CD = DA = a$
$\Rightarrow AC = BD = a\sqrt2$
$\Rightarrow OA = OB = OC = OD = \dfrac{a\sqrt2}{2}$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$SA^2 = SO^2 + OA^2$
$\Rightarrow SO = \sqrt{SA^2 – OA^2} = \sqrt{4a^2 – \dfrac{a^2}{2}} = \dfrac{a\sqrt{14}}{2}$
Ta được:
$V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SO = \dfrac{1}{3}\cdot a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt{14}}{2} = \dfrac{a^3\sqrt{14}}{6}$
Xét hình chóp $S.OAB$ có $SO, OA, OB$ đôi một vuông góc, ta có:
$\dfrac{1}{d^2(O;(SAB))} = \dfrac{1}{SO^2} + \dfrac{1}{OA^2} + \dfrac{1}{OB^2}$
$\Rightarrow d(O;(SAB)) = \dfrac{SO.OA}{\sqrt{OA^2 + 2SO^2}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{14}}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{\dfrac{a^2}{2} + 7a^2}}=\dfrac{a\sqrt{210}}{30}$
Ta có:
$V_{S.OAB} = \dfrac{1}{4}V_{S.ABCD} = \dfrac{a^3\sqrt{14}}{24}$
mà $V_{S.OAB} = \dfrac{1}{3}S_{SAB}.d(O;(SAB))$
nên $S_{SAB} =\dfrac{3V_{S.OAB}}{d(O;(SAB))} = \dfrac{\dfrac{a^3\sqrt{14}}{8}}{\dfrac{a\sqrt{210}}{30}} = \dfrac{a^2\sqrt{15}}{4}$
Đáp án:
Giải thích các bước giải: