Cho hình thang vuông ABCD có góc A = góc D =90 độ và AD = Ab =DC/2 . Hạ BE vuông góc với DC tại E .
a, Cm rằng tứ giác ABED là hình vuông
b, Tam giác DBC là tam giác gì ? Vì sao
c, Lấy điểm F là điểm đối xúng của A qua B . Kẻ FH vuông góc với AC (H thuộc AC . Gọi I là giao điểm của AC và BE .Cm
BI = 1/2Fc
Góc BHA = Góc HFC
d, Gọi M là trung điểm của AH . Tính số đo góc FME
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) +Xét tứ giác $ABED$ có: $\widehat{BAD}=\widehat{ADE}=\widehat{DEB}(=90^0)\Rightarrow ABED$ là hình chữ nhật. Mặt khác: $AB=AD$ nên $ABED$ là hình vuông.
b)Vì $ABED$ là hình vuông nên $BD$ là phân giác góc $ABE$ nên: $\widehat{DBE}=\frac{1}{2}\widehat{ABE}=45^0$
Vì $\Delta BEC$ vuông cân tại $E$ nên $\widehat{EBC}=45^0$
Khi đó: $\widehat{DBC}=90^0$. Hay $\Delta DBC$ vuông tại $B$
c) Ta có: $BF//=CE$ nên $BFCE$ là hình bình hành, mà $BF=BE(=AB)$ và $\widehat{BEC}=90^0$ nên $BFCE$ là hình vuông :
Ta có: $\left\{\begin{matrix}
AB=BF & & \\
BI\parallel FC & &
\end{matrix}\right.\Rightarrow IA=IC$
Có: $\left\{\begin{matrix}
AB=BF & & \\
IA=IC & &
\end{matrix}\right.\Rightarrow BI$ là đường trung bình tam giác $AFC$
Nên: $BI=\frac{1}{2}FC$
Xét tam giác vuông $AHF$ có: $HB$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AF$ nên:
$HB=\frac{1}{2}AF=AB\Rightarrow \Delta ABH$ cân
Nên: $\widehat{BHA}=\widehat{BAH}$. Mà $\widehat{BAH}=\widehat{HFC}$ (Cùng phụ với góc $AFH$)
Từ đó suy ra: $\widehat{BHA}=\widehat{HFC}$
d) Gọi $J$ là trung điểm $HF$. Dễ dạng chứng minh được $MJCE$ là hình bình hành ($MJ//=CE$)
Suy ra: $ME\parallel CJ$ (1)
Ta có: $
\left\{\begin{matrix}
MJ\parallel EC & & \\
EC\perp FC & &
\end{matrix}\right.\Rightarrow MJ\perp FC$
Khi đó: $J$ là trực tâm tam giác $MFC$
Suy ra: $CJ\perp MF$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $ME\perp MF\Rightarrow \Delta MEF$ vuông tại $M$