Cho hình thang vuông ABCD, hai đáy AD=a, BC=b, đường cao AB=h. Tìm hệ thức liên hệ giữa a,b,h sao cho:
a) BD ⊥ CI với I là trung điểm AB.
b) AC ⊥ DI
c) BM ⊥ CN, (M,N lần lượt là trung điểm AC và BD).
Cho hình thang vuông ABCD, hai đáy AD=a, BC=b, đường cao AB=h. Tìm hệ thức liên hệ giữa a,b,h sao cho:
a) BD ⊥ CI với I là trung điểm AB.
b) AC ⊥ DI
c) BM ⊥ CN, (M,N lần lượt là trung điểm AC và BD).
Đáp án:
a) ${h^2} = 2ab$
b) ${h^2} = 2ab$
c) ${h^2} + ab = 2{b^2}$
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}
a)\\
\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} \\
\overrightarrow {CI} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BI} = \overrightarrow {CB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BA} \\
\Rightarrow \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {CI} = 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {CB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BA} } \right) = 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {CB} + \dfrac{1}{2}B{A^2} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BA} = 0\\
\Leftrightarrow 0 – ab + \dfrac{1}{2}{h^2} + \dfrac{1}{2}.0 = 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{h^2} – ab = 0 \Leftrightarrow {h^2} = 2ab\\
b)\\
\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \\
\overrightarrow {DI} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AI} = \overrightarrow {DA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} \\
\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DI} = 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {DA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} } \right) = 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {DA} + \dfrac{1}{2}A{B^2} + \dfrac{1}{2}.\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} = 0\\
\Leftrightarrow 0 – ab + \dfrac{1}{2}{h^2} + \dfrac{1}{2}.0 = 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{h^2} – ab = 0 \Leftrightarrow {h^2} = 2ab\\
c)\\
\overrightarrow {BM} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)\\
\overrightarrow {CN} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {CB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BD} \\
= \overrightarrow {CB} + \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {CB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} \\
\Rightarrow \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {CN} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {CB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right) = 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CB} – B{C^2} + \dfrac{1}{2}B{A^2} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} = 0\\
\Leftrightarrow 0 – {b^2} + \dfrac{1}{2}{h^2} + \dfrac{1}{2}.0 + \dfrac{1}{2}.0 + \dfrac{1}{2}.ab = 0\\
\Leftrightarrow – {b^2} + \dfrac{1}{2}{h^2} + \dfrac{1}{2}.ab = 0\\
\Leftrightarrow {h^2} + ab = 2{b^2}
\end{array}$