Cho hình vuông $ABCD$, $M$ là điểm thay đổi trên cạnh $BC \ (M \ne B)$ và $N$ là điểm thay đổi trên cạnh $CD \ (N \ne D)$ sao cho `\hat{MAN}=\hat{MAB}+\hat{NAD}`
a, $BD$ cắt `AN` và `AM` tại `P` và `Q`. CMR: `P,Q,M,C,N` cùng nằm trên 1 đường tròn
b, CMR: $MN$ luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định khi $M,N$ thay đổi
c, $\Delta APQ:S_1; \ \ PQMN: S_2$. CMR `S_1/S_2` không đổi khi $M,N$ thay đổi
a , Từ gt suy ra: $\widehat{MAN}=90°$
Tứ giác ABMP có $\widehat{PBM}=\widehat{PAM}=45°$
nên tứ giác nội tiếp $==>\widehat{MPA}=90°$
Tương tự tứ giác ADNQ nội tiếp và có $\widehat{NQA}=90°$
Vậy $P,Q,M,C,N$ cùng nằm trên 1 đường tròn
b,Kẻ $AH \ both NM$ .
$∆AHM=ABM==>AH=AB$
Vậy $MN$ luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định khi $M,N$ thay đổi
c,Do ∆AQN và ∆APM vuông cân tại Q và P nên:
$AQ/AN=AP/AM=1/√2$
$==>S^APQ/S^AMN=AQ.QP/AN.AM=1/√2.1/√2=1/2$
$==>S^1/S^2=1$ và không đổi khi $M,N$ thay đổi