cho hình vuông ABCD.Qua A kẻ 2 đường thẳng vuông góc với nhau cắt AB tại P và R,cắt CD tại Q và S
a,Chứng minh ΔAQP và ΔAPS là các tam giác cân
b,QR cắt PS tại H. M,N lần lượt là trung điểm của QP và PS.Chứng minh tứ giác AHMN là hình chữ nhật
c,Chứng minh P là trực tâm ΔSQR
d,Chứng minh điểm M,N cách đều A và C
e,Chứng minh 4 điểm M,B,N,P thẳng hàng
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Ta có: ^BAR+^DAR=^BAD=900 (1)
^DAQ+^DAR=900 (Do PQ vuông góc AR) (2)
Từ (1) và (2) => ^BAR=^DAQ
Xét ΔΔABR và ΔΔADQ:
^ABR=^ADQ=900
AB=AD => ΔΔABR=ΔΔADQ (g.c.g)
^BAR=^DAQ
=> AR=AQ (2 cạnh tương ứng) . Xét tam giác AQR:
AR=AQ, ^QAR=900 => ΔΔAQR là tam giác vuông cân tại A.
Tương tự: ΔΔADS=ΔΔABP (g.c.g)
=> AS=AP, ^PAS=900 => ΔΔAPS vuông cân tại A.
b) ΔΔAQR vuông cân tại A, M là trung điểm của QR => AM vuông góc QR (3)
Tương tự: AN vuông góc với PS (4)
Lại có: AM là phân giác của ^QAR (Do ΔΔAQR…) => ^MAR=450
AN là phân giác của ^PAS => ^SAN=450
=> ^MAR+^SAN=^MAN=900 (5)
Từ (3), (4) và (5) => Tứ giác AMHN là hình chữ nhật (đpcm)
c) Vì tứ giác AMHN là hcn => ^MHN=900 => MH vuông góc với PS hay QH vuông góc với PS
Xét ΔΔSQR: PQ vuông góc RS tại A, PS vuông góc QR tại H
=> P là trực tâm của tam giác SQR (đpcm).
d) Ta thấy ΔΔPCS vuông tại C (PC vuông góc QS), N là trung điểm của PS => CN=PN=SN.
Lại có: Tam giác APS vuông cân tại A, N là trung điểm PS => AN=PN=SN
=> CN=AN => N nằm trên đường trung trực của AC (6)
Tương tự: Tam giác QCR vuông tại C, M là trung điểm QR => CM=QM=RM
Tam giác AQR vuông cân A, M là trung điểm QR => AM=QM=RM
=> CM=AM => M nằm trên đường trung trực của AC (7)
Từ (6) và (7) => MN là trung trực của AC (đpcm). (8)
e) Xét hình vuông ABCD: 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường
=> BD là trung trực của AC (9)
Từ (8) và (9) => M;B;N;D thẳng hàng (đpcm).