cho hình vuông ABCD và điểm M thuộc cảnh BC . Kéo dài AM cắt tia DC tại N. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt tia CB tại E . C/m
1) AE = AN
2) $\frac{1}{AB^{2} }$ = $\frac{1}{AM^{2} }$ + $\frac{1}{AN^{2} }$
cho hình vuông ABCD và điểm M thuộc cảnh BC . Kéo dài AM cắt tia DC tại N. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt tia CB tại E . C/m
1) AE = AN
2) $\frac{1}{AB^{2} }$ = $\frac{1}{AM^{2} }$ + $\frac{1}{AN^{2} }$
Xét $∆ADN$ và $∆ABE$ có:
$AD = AB$ ($ABCD$ là hình vuông)$
$\widehat{D} = \widehat{B} = 90^o$
$\widehat{DAN} = \widehat{BAE}$ (cùng phụ $\widehat{MAB}$)
Do đó $∆ADN= ∆ABE$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
$\Rightarrow AN = AE$
Áp dụng hệ thức lượng trong $∆AME$ vuông tại $A$ đường cao $AB$, ta được:
$\dfrac{1}{AB^2} = \dfrac{1}{AM^2} + \dfrac{1}{AE^2}$
Hay $\dfrac{1}{AB^2} = \dfrac{1}{AM^2} + \dfrac{1}{AN^2}$