Cho họ đường tròn có phương trình: (Cm): x 2 +y 2 +2(m+1)x–4(m–2)y–4m–1=0 Với giá trị nào của m thì đường tròn có bán kính nhỏ nhất?

Ta có

$(C_m): x^2 + y^2 + 2(m+1)x – 4(m-2)y – 4m – 1 = 0$

$<-> (C_m): (x + m + 1)^2 + [y-2(m-2)]^2 -5m^2 + 10m -18 = 0$

$<-> (C_m): (x + m + 1)^2 + (y – 2m + 4)^2 = 5m^2 -10 m +18$

Ta có

$5m^2 – 10m + 18 = 5(m^2 – 2m + 1) +13 = 5(m-1)^2 + 13 \geq 13$

Dấu “=” xảy ra khi $m – 1 = 0$ hay $m = 1$. Khi đó bán kính là $\sqrt{13}$

Vậy với $m = 1$ thì bán kính đường tròn là nhỏ nhất.