Cho họ đường tròn có phương trình:
(Cm): x 2 +y 2 +2(m+1)x–4(m–2)y–4m–1=0
Với giá trị nào của m thì đường tròn có bán kính nhỏ nhất?
Cho họ đường tròn có phương trình:
(Cm): x 2 +y 2 +2(m+1)x–4(m–2)y–4m–1=0
Với giá trị nào của m thì đường tròn có bán kính nhỏ nhất?
Ta có
$(C_m): x^2 + y^2 + 2(m+1)x – 4(m-2)y – 4m – 1 = 0$
$<-> (C_m): (x + m + 1)^2 + [y-2(m-2)]^2 -5m^2 + 10m -18 = 0$
$<-> (C_m): (x + m + 1)^2 + (y – 2m + 4)^2 = 5m^2 -10 m +18$
Ta có
$5m^2 – 10m + 18 = 5(m^2 – 2m + 1) +13 = 5(m-1)^2 + 13 \geq 13$
Dấu “=” xảy ra khi $m – 1 = 0$ hay $m = 1$. Khi đó bán kính là $\sqrt{13}$
Vậy với $m = 1$ thì bán kính đường tròn là nhỏ nhất.
Đáp án:
Bán kính của họ đường tròn là : R = √(2m2+2m+13)
R đạt giá nhỏ nhất ⇔2m2 + 2m + 13 đạt giá nhỏ nhất.
Mà 2m2 + 2m + 13 = 2 ( m + )2 + 25/2 ≥ 25/2
=>min(2m2 + 2m + 13) = khi m = -1/2
Kết luận: minR =√(25/2=5/2) √2 = √2 khi m = -1/2
Giải thích các bước giải: