Cho ????,????,???? là các số dương thay đổi thỏa mãn ????+????+????=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ????=????^5+????^5+????^5+1/????+1/????+1/????

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si $(a+b≥2\sqrt{ab})$ ta có:

$x^5+\dfrac{1}{x}≥2\sqrt{\dfrac{x^5}{x}}=2x^2$

$y^5+\dfrac{1}{y}≥2\sqrt{\dfrac{y^5}{y}}=2y^2$

$z^5+\dfrac{1}{z}≥2\sqrt{\dfrac{z^5}{z}}=2z^2$

$→ T=x^5+y^5+z^5+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}≥2(x^2+y^2+z^2)$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki (kĩ thuật thêm bớt) ta có:

$T≥\dfrac{2(x^2+y^2+z^2)}{1}$

$→ T≥\dfrac{3.2(x^2+y^2+z^2)}{3}$

$→ T≥\dfrac{2(x+y+z)^2}{3}=\dfrac{2.3^2}{3}=6$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

Vây $T_{min}=6$