Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA’ = 2a và đường thẳng AA’ tạo với mặt phẳng ( ABC) một góc bằng 60 độ. Tính theo a thể tích cảu khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khối đa diện ACA’B’
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA’ = 2a và đường thẳng AA’ tạo với mặt phẳng ( ABC) một góc bằng 60 độ. Tính theo a thể tích cảu khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khối đa diện ACA’B’
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Gọi H là chân đường cao hạ từ A’ xuống mặt phẳng (ABC)
Suy ra góc tạo bởi đường thẳng AA’ và mp(ABC) là góc A’AH
\[\begin{array}{l}
\widehat {A’AH} = 60^\circ \\
A’H = AA’.\sin \widehat {A’AH} = 2a.\sin 60^\circ = \sqrt 3 a
\end{array}\]
Đáy ABC là tam giác đều cạnh a nên có diện tích là
\[\frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}\]
Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là
\[AA’.{S_{ABC}} = \sqrt 3 a.\frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4} = \frac{3}{4}{a^3}\]
b,
\[{V_{C.AA’B’}} = \frac{1}{2}{V_{C.AA’B’B}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}{V_{ABC.A’B’C’}} = \frac{1}{3}.\frac{3}{4}{a^3} = \frac{{{a^3}}}{4}\]