Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, số đo của góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và(ABC) bằng 30độ, M là trung điểm BC. Tính th

Đáp án:

$V_{A’ACM}=\dfrac{a^3\sqrt3}{48}$

Giải thích các bước giải:

$∆ABC$ đều cạnh $a$

$\to S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$

Ta có: $M$ là trung điểm $BC$

$\to \begin{cases}\\S_{ACM}=\dfrac12S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{8}\\AM =\dfrac{a\sqrt3}{2}\end{cases}$

Mặt khác:

$∆A’AB$ và $∆A’AC$ có:

$AA’:$ cạnh chung

$AB = AC$

$\widehat{A’AB}=\widehat{A’AC}=90^\circ$ (lăng trụ đứng)

Do đó $∆A’AB=∆A’AC\, (c.g.c)$

$\to A’B = A’C$

$\to ∆A’BC$ cân tại $A’$

Lại có $M$ là trùn điểm cạnh đáy $BC$

$\to A’M\perp BC$

Ta có:

$\begin{cases}(A’BC)\cap (ABC)=BC\\AM\perp BC\\AM\subset (ABC)\\A’M\perp BC\\A’M\subset (A’BC)\end{cases}$

$\to \widehat{((A’BC);(ABC))}=\widehat{A’MA}= 30^\circ$

$\to AA’ = AM.\tan30^\circ = \dfrac a2$

Ta được:

$V_{A’ACM}=\dfrac13S_{ACM}.AA’ =\dfrac13\dfrac{a^2\sqrt3}{8}\cdot \dfrac a2 =\dfrac{a^3\sqrt3}{48}$