cho M=a^2+b^2+3ab(a,b ∈N*) là số chính phương chia hết cho 5. CMR: ab chia hết 75

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$M$ là số chính phương

$\to M$ chia $3$ dư $0$ hoặc $1$

$\to a^2+b^2+3ab$ chia $3$ dư $0$ hoặc $1$

$\to a^2+b^2$ chia $3$ dư $0$ hoặc $1$

$\to$ Tồn tại ít nhất $1$ số $a$ hoặc $b$ chia hết cho $3$

$\to ab\quad\vdots\quad 3$

Lại có:

$M\quad\vdots\quad 5$

$\to  a^2+b^2+3ab\quad\vdots\quad 5$

$\to  (a-b)^2+5ab\quad\vdots\quad 5$

$\to  (a-b)^2\quad\vdots\quad 5$

$\to  a-b\quad\vdots\quad 5$

Vì $M$ là số chính phương $M\quad\vdots\quad 5\to M\quad\vdots\quad 25$

$\to  (a-b)^2+5ab\quad\vdots\quad 25$

Do $(a-b)^2\quad\vdots\quad 5\to (a-b)^2\quad\vdots\quad25$

$\to 5ab\quad\vdots\quad 25$

$\to ab\quad\vdots\quad 5$

$\to ab-b^2+b^2\quad\vdots\quad 5$

$\to b(a-b)+b^2\quad\vdots\quad 5$

$\to b^2\quad\vdots\quad 5$ vì $a-b\quad\vdots\quad 5$

$\to b\quad\vdots\quad 5$ 

$\to a\quad\vdots\quad 5$  vì $a-b\quad\vdots\quad 5$ 

$\to ab\quad\vdots\quad 25$ 

Mà $(25,3)=1\to ab\quad\vdots\quad 3\cdot 25$ 

$\to ab\quad\vdots\quad 75$ 

$\to đpcm$