cho M=a^2+b^2+3ab(a,b ∈N*) là số chính phương chia hết cho 5. CMR: ab chia hết 75

0 bình luận về “cho M=a^2+b^2+3ab(a,b ∈N*) là số chính phương chia hết cho 5. CMR: ab chia hết 75”

1. Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $M$ là số chính phương

   $\to M$ chia $3$ dư $0$ hoặc $1$

   $\to a^2+b^2+3ab$ chia $3$ dư $0$ hoặc $1$

   $\to a^2+b^2$ chia $3$ dư $0$ hoặc $1$

   $\to$ Tồn tại ít nhất $1$ số $a$ hoặc $b$ chia hết cho $3$

   $\to ab\quad\vdots\quad 3$

   Lại có:

   $M\quad\vdots\quad 5$

   $\to  a^2+b^2+3ab\quad\vdots\quad 5$

   $\to  (a-b)^2+5ab\quad\vdots\quad 5$

   $\to  (a-b)^2\quad\vdots\quad 5$

   $\to  a-b\quad\vdots\quad 5$

   Vì $M$ là số chính phương $M\quad\vdots\quad 5\to M\quad\vdots\quad 25$

   $\to  (a-b)^2+5ab\quad\vdots\quad 25$

   Do $(a-b)^2\quad\vdots\quad 5\to (a-b)^2\quad\vdots\quad25$

   $\to 5ab\quad\vdots\quad 25$

   $\to ab\quad\vdots\quad 5$

   $\to ab-b^2+b^2\quad\vdots\quad 5$

   $\to b(a-b)+b^2\quad\vdots\quad 5$

   $\to b^2\quad\vdots\quad 5$ vì $a-b\quad\vdots\quad 5$

   $\to b\quad\vdots\quad 5$ 

   $\to a\quad\vdots\quad 5$  vì $a-b\quad\vdots\quad 5$ 

   $\to ab\quad\vdots\quad 25$ 

   Mà $(25,3)=1\to ab\quad\vdots\quad 3\cdot 25$ 

   $\to ab\quad\vdots\quad 75$ 

   $\to đpcm$

   Bình luận