cho M =a+b+(1/a)+(1/b) tính M biết a,b > hoặc= 0 và a+b < hoặc = 3/2

Đáp án: `M_{min}=\frac{25}{6}⇔a=b=\frac{3}{4}`

Giải thích các bước giải:

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau: Với $x;y>0:\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}≥\dfrac{4}{x+y}(*)$

Chứng minh: 

$(*)⇔\dfrac{x+y}{xy}≥\dfrac{4}{x+y}$

$⇔(x+y)^2≥4xy$

$⇔x^2+y^2+2xy≥4xy$

$⇔x^2+y^2-2xy≥0$

$⇔(x-y)^2≥0$ (luôn đúng)

Dấu bằng xảy ra $⇔x=y$

Trở lại bài toán:

Áp dụng bất đẳng thức $(*)$ kết hợp với bất đẳng thức Cauchy, ta có:

`M=a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}`

`≥a+b+\frac{4}{a+b}`

`=(a+b+\frac{9}{4(a+b)})+\frac{7}{4(a+b)}`

$≥2\sqrt{(a+b).\dfrac{9}{4(a+b)}}+\dfrac{7}{4.\dfrac{3}{2}}$

`=2.\frac{3}{2}+\frac{7}{6}`

`=\frac{25}{6}`

Dấu bằng xảy ra

$⇔\begin{cases}a=b\\a+b=\dfrac{9}{4(a+b)}\\a+b=\dfrac{3}{2}\end{cases}⇔a=b=\dfrac{3}{4}$