cho M =a+b+(1/a)+(1/b) tính M biết a,b > hoặc= 0 và a+b < hoặc = 3/2

0 bình luận về “cho M =a+b+(1/a)+(1/b) tính M biết a,b > hoặc= 0 và a+b < hoặc = 3/2”

1. Đáp án+Giải thích các bước giải:

      Có:  M= a+b+$\frac{1}{a}$ +$\frac{1}{b}$ 

                 ≥ a+b+$\frac{4}{a+b}$ (Hệ quả BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki)

                 = [a+b+$\frac{9}{4(a+b)}$ ] + $\frac{7}{4(a+b)}$ 

                 ≥ 2$\sqrt{(a+b)\frac{9}{4(a+b)}}$+$\frac{7}{4(a+b)}$  (BĐT Cô-si)

                 ≥ 2$\sqrt{\frac{9}{4}}$+$\frac{7}{4.\frac{3}{2}}$ 

                 = $\frac{25}{6}$ 

     ⇒ Mmin=$\frac{25}{6}$ 

     Dấu “=” xảy ra ⇔ a=b=$\frac{3}{4}$ 

      Vậy Mmin=$\frac{25}{6}$ tại a=b=$\frac{3}{4}$ 

                

   Bình luận

2. Đáp án: `M_{min}=\frac{25}{6}⇔a=b=\frac{3}{4}`

    

   Giải thích các bước giải:

   Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau: Với $x;y>0:\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}≥\dfrac{4}{x+y}(*)$

   Chứng minh: 

   $(*)⇔\dfrac{x+y}{xy}≥\dfrac{4}{x+y}$

   $⇔(x+y)^2≥4xy$

   $⇔x^2+y^2+2xy≥4xy$

   $⇔x^2+y^2-2xy≥0$

   $⇔(x-y)^2≥0$ (luôn đúng)

   Dấu bằng xảy ra $⇔x=y$

   Trở lại bài toán:

   Áp dụng bất đẳng thức $(*)$ kết hợp với bất đẳng thức Cauchy, ta có:

   `M=a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}`

   `≥a+b+\frac{4}{a+b}`

   `=(a+b+\frac{9}{4(a+b)})+\frac{7}{4(a+b)}`

   $≥2\sqrt{(a+b).\dfrac{9}{4(a+b)}}+\dfrac{7}{4.\dfrac{3}{2}}$

   `=2.\frac{3}{2}+\frac{7}{6}`

   `=\frac{25}{6}`

   Dấu bằng xảy ra

   $⇔\begin{cases}a=b\\a+b=\dfrac{9}{4(a+b)}\\a+b=\dfrac{3}{2}\end{cases}⇔a=b=\dfrac{3}{4}$

   Bình luận