Cho một tam giác có độ dài các cạnh là: x^2 + x + 1; 2x + 1; x^2 – 1.
a) Tìm x để tồn tại một tam giác như trên.
b) Khi đó chứng minh tam giác ấy có một góc bằng 120 độ.
Cho một tam giác có độ dài các cạnh là: x^2 + x + 1; 2x + 1; x^2 – 1.
a) Tìm x để tồn tại một tam giác như trên.
b) Khi đó chứng minh tam giác ấy có một góc bằng 120 độ.
a. Theo bất đẳng thức trong tam giác, trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại, nên để 3 cạnh x²+x+1, 2x+1, x²-1 tạo thành 1 tam giác thì ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + x + 1 + 2x + 1 > {x^2} – 1\\
{x^2} + x + 1 + {x^2} – 1 > 2x + 1\\
{x^2} – 1 + 2x + 1 > {x^2} + x + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x > – 3\\
2{x^2} – x – 1 > 0\\
x > 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > – 1\\
\left[ \begin{array}{l}
x < \dfrac{{ – 1}}{2}\\
x > 1
\end{array} \right.\\
x > 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1
\end{array}\)
b. Sử dụng định lý cosin:
$c=a^2+b^2-2ab\cos C$ (trong đó a, b, c lần lượt là các cạnh đối diện của các góc A, B, C trong tam giác $ABC$)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{{{{(2x + 1)}^2} + {{({x^2} – 1)}^2} – {{({x^2} + x + 1)}^2}}}{{2(2x + 1)({x^2} – 1)}}\\
= \dfrac{{{{(2x + 1)}^2} + ({x^2} – 1 – {x^2} – x – 1)({x^2} – 1 + {x^2} + x + 1)}}{{2(2x + 1)({x^2} – 1)}}\\
= \dfrac{{{{(2x + 1)}^2} + ( – x – 2)(2{x^2} + x)}}{{2(2x + 1)({x^2} – 1)}}\\
= \dfrac{{(2x + 1)\left[ {(2x + 1) + ( – x – 2)x} \right]}}{{2(2x + 1)({x^2} – 1)}}\\
= \dfrac{{2x + 1 – {x^2} – 2x}}{{2({x^2} – 1)}} = \dfrac{{ – 1}}{2}
\end{array}\)
$\Rightarrow \alpha=120^o\Rightarrow $ tam giác tạo bởi 3 cạnh trên có góc là $120^o$ (đpcm)