Cho một tam giác có độ dài các cạnh là: x^2 + x + 1; 2x + 1; x^2 – 1. a) Tìm x để tồn tại một tam giác như trên. b) Khi đó chứng minh tam giác ấy có m

a. Theo bất đẳng thức trong tam giác, trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại, nên để 3 cạnh x²+x+1, 2x+1, x²-1 tạo thành 1 tam giác thì ta có:
\(\begin{array}{l}
 \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + x + 1 + 2x + 1 > {x^2} – 1\\
{x^2} + x + 1 + {x^2} – 1 > 2x + 1\\
{x^2} – 1 + 2x + 1 > {x^2} + x + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x >  – 3\\
2{x^2} – x – 1 > 0\\
x > 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x >  – 1\\
\left[ \begin{array}{l}
x < \dfrac{{ – 1}}{2}\\
x > 1
\end{array} \right.\\
x > 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1
\end{array}\)

b. Sử dụng định lý cosin:

$c=a^2+b^2-2ab\cos C$ (trong đó a, b, c lần lượt là các cạnh đối diện của các góc A, B, C trong tam giác $ABC$)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{{{{(2x + 1)}^2} + {{({x^2} – 1)}^2} – {{({x^2} + x + 1)}^2}}}{{2(2x + 1)({x^2} – 1)}}\\
 = \dfrac{{{{(2x + 1)}^2} + ({x^2} – 1 – {x^2} – x – 1)({x^2} – 1 + {x^2} + x + 1)}}{{2(2x + 1)({x^2} – 1)}}\\
 = \dfrac{{{{(2x + 1)}^2} + ( – x – 2)(2{x^2} + x)}}{{2(2x + 1)({x^2} – 1)}}\\
 = \dfrac{{(2x + 1)\left[ {(2x + 1) + ( – x – 2)x} \right]}}{{2(2x + 1)({x^2} – 1)}}\\
 = \dfrac{{2x + 1 – {x^2} – 2x}}{{2({x^2} – 1)}} = \dfrac{{ – 1}}{2}
\end{array}\)

$\Rightarrow \alpha=120^o\Rightarrow $ tam giác tạo bởi 3 cạnh trên có góc là $120^o$ (đpcm)