Cho n>2 và không chia hết cho 3. Chứng minh rằng hai số n ² -1 và n ²+1 không thể đồng thời là hai số nguyên tố.

Xét 3 số tự nhiên liên tiếp $n^{2} – 1; n^{2}; n^{2} + 1$

Trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại $1$ số chia hết cho $3$

Mà $n$ không chia hết cho $3$ suy ra $n^{2}$ không chia hết cho $3$ nên $n^{2} – 1$ hoặc $n^{2} + 1$ chia hết cho $3$ 

Mặt khác $n^{2} – 1 > 3$, $n^{2} + 1 > 3$ với $n > 2$

$\Rightarrow n^{2} – 1$  và $n^{2} + 1$ không đồng thời là số nguyên tố