+ Cho n là một số không chia hết cho 3. CMR n² chia
là hợp số.
3 dư 1.
+ Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p² + 2003 là số
nguyên tố hay hợp số?
+ Cho n là một số không chia hết cho 3. CMR n² chia
là hợp số.
3 dư 1.
+ Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p² + 2003 là số
nguyên tố hay hợp số?
`+`
`\text{Do n không chia hết cho 3}`
`\text{=> n có dạng : n=3k+1 hoặc n=3k+2}`
`\text{Với n=3k+1 thì n²=(3k+1)²=9k²+6k+1 chia 3 dư 1}`
`\text{Với n=3k+2 thì n²=(3k+2)²=9k²+12k+4 chia 3 dư 1}`
`\text{Do đó, với n không chia hết cho 3 thì n² chia 3 dư 1}`
`+`
`\text{Do p là số nguyên tố, p > 3}`
`\text{=> p không chia hết cho 3 . Áp dụng câu a) thì p² chia 3 sẽ dư 1.}`
`\text{Khi đó : p² + 2003 ≡ 1 + 2 ≡ 0 }`
`\text{⇒ p² + 2003 chia hết cho 3, mà p² + 2003 lớn hơn 3}`
`\text{⇒ p² + 2003 là hợp số.}`
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(n⋮̸3\)
=> n chia cho 3 dư 1 hoặc 2
Xét các trường hợp:
+ n chia 3 dư 1: \(n=3k+1\Rightarrow n^2=\left(3k+1\right)\left(3k+1\right)=9k^2+6k+1=3\left(3k^2+2k\right)+1\)
\(\Leftrightarrow\) n2 chia cho 3 dư 1.
+ n chia 3 dư 2: \(n=3k+2\Rightarrow n^2=\left(3k+2\right)\left(3k+2\right)=9k^2+12k+4=3\left(3k^2+4k+1\right)+1\)
\(\Leftrightarrow\) n2 chia cho 3 dư 1. Vậy n² chia 3 dư 1
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3
⇒ p lẻ
⇒ p² lẻ
⇒ p² + 2003 chẵn
Mà p > 3 ⇒ p² > 3 ⇒ p² +2003 > 3
⇒ p² + 2003 là hợp số.