KHÁM PHÁ Học Toán + Tiếng Anh theo Sách Giáo Khoa cùng học online và gia sư dạy kèm tại nhà từ lớp 1 đến lớp 12 với giá cực kỳ ưu đãi kèm quà tặng độc quyền"CỰC HOT".
Cho n ∈ N. Chứng minh A= 5^n ( 5^n +1) -6^n (3^n +2^n) chia hết cho 91
By Eva
Cho n ∈ N. Chứng minh A= 5^n ( 5^n +1) -6^n (3^n +2^n) chia hết cho 91
Đặt $A = 5^n.(5^n+1)-6^n.(3^n+2^n)$ $ = 25^n+5^n-18^n-12^n$ $= (25^n-12^n) -(18^n-5^n)$ Vì $25^n-12^n \vdots (25-12) $ nên $25^n-12^n \vdots 13$ Tương tự thì $18^n – 5^n \vdots 13$ Do đó : $A \vdots 13 (1)$ Mặt khác $ A= (25^n-18^n) -(12^n-5^n)$ Vì $25^n-18^n \vdots (25-18)$ hay $25^n-18^n \vdots 7$ Tương tự thì $12^n-5^n \vdots 7$ Do đó : $A \vdots 7(2)$ Từ (1) và (2) suy ra $A \vdots 91$ ( Do $(7,13)=1 $ )
Đặt $A = 5^n.(5^n+1)-6^n.(3^n+2^n)$
$ = 25^n+5^n-18^n-12^n$
$= (25^n-12^n) -(18^n-5^n)$
Vì $25^n-12^n \vdots (25-12) $ nên $25^n-12^n \vdots 13$
Tương tự thì $18^n – 5^n \vdots 13$
Do đó : $A \vdots 13 (1)$
Mặt khác $ A= (25^n-18^n) -(12^n-5^n)$
Vì $25^n-18^n \vdots (25-18)$ hay $25^n-18^n \vdots 7$
Tương tự thì $12^n-5^n \vdots 7$
Do đó : $A \vdots 7(2)$
Từ (1) và (2) suy ra $A \vdots 91$ ( Do $(7,13)=1 $ )
Sử dụng $a^{n}-b^{n}\ \vdots\ a-b\ \forall\ a\neq b $
Có:+, $A=25^{n}+5^{n}-18^{n}-12^{n}$
+, $25^{n}-18^{n} \ \vdots\ 25-18=7$
+, $12^{n}-5^{n} \ \vdots\ 12-5=7$
Suy ra: $A \ \vdots\ 7$ (1)
+, $25^{n}-12^{n} \ \vdots\ 25-12=13$
+, $18^{n}-5^{n} \ \vdots\ 18-5=13$
Suy ra: $A \ \vdots\ 13$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $A \ \vdots\ 13.7=91$ ( Vì $(13,7)=1$)
⇒ đpcm