Cho nửa đường tròn đường kính BC. Một điểm H thuộc BC. Kẻ Hz vuông góc BC và gọi A là giao điểm của Hz với nửa đường tròn. Trong cùng 1 nửa mặt phẳng với Hz bờ là đường thẳng BC, ta kẻ tiếp tuyến Bx, Cy với nửa đường tròn, CA cắt Bx tại E, BA cắt Cy tại D và AH cắt ED tại L.
a. CMR: AH=AL.
b. CMR: S ΔABC = S ΔAED.
c. Gọi P là trung điểm BE và Q là trung điểm của CD. CMR: PQ là tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại điểm A.
d. Điểm H ở vị trí nào trên BC thì tổng BP+QC đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải thích các bước giải:
EFCB nội tiếp nên
∠
A
E
F
=
∠
A
C
B
Kẻ tiếp tuyến Ax , ta có
∠
x
A
E
=
∠
A
C
B
→
∠
A
E
F
=
∠
x
A
E
→
A
x
/
/
E
F
→
O
A
⊥
E
F
→
˜
A
P
=
˜
A
Q
Từ đó
∠
P
B
A
=
∠
A
P
E
rồi dùng tam giác đồng dạng là xong
b/ Từ các tứ giác nội tiếp có
D
K
.
D
A
=
D
C
.
D
B
và
D
F
.
D
E
=
D
C
.
D
B
nên
D
K
.
D
A
=
D
F
.
D
E
=>AEFK nội tiếp
c/ Từ cmt ta có
∠
D
K
F
=
∠
A
E
F
=
∠
A
C
B
→
KFCD nội tiếp
→
I
C
.
I
D
=
I
F
.
I
K
Lại có
∠
F
H
I
=
∠
H
A
F
=
∠
H
K
I
→
Δ
H
I
F
∼
Δ
K
I
H
→
I
F
.
I
K
=
I
H
2
=> DPCM