Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB ; C là một điểm trên (0) (C khác A và B). Gọi M là điểm chính giữa của cung AC, OM cắt AC tại K, H là hình chiếu của C trên AB.
a) Chứng minh tứ giác CKOH nội tiếp.
b) Chứng minh tam giác AKH cân.
c) Chứng tỏ KH tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác HCB
a.Ta có : MM là điểm chính giữa cung AC →OM⊥AC=K→OM⊥AC=K là trung điểm AC
Mà CH⊥AB→ˆCKO=ˆCHO=90oCH⊥AB→CKO^=CHO^=90o
→CKHO→CKHO nội tiếp
b.Vì CKHOCKHO nội tiếp →ˆKHA=ˆKCO=ˆACO=ˆCAO→KHA^=KCO^=ACO^=CAO^
→ΔAKH→ΔAKH cân tại K
c.Ta có: CH⊥AB→ΔCHA,ΔCHBCH⊥AB→ΔCHA,ΔCHB vuông tại H
Mà K,D là trung điểm AC, CB
→KH=KC,DH=DC→ΔKCD=ΔKHD(c.c.c)→KH=KC,DH=DC→ΔKCD=ΔKHD(c.c.c)
→ˆKHD=ˆKCD=90o→KH⊥HD→KHD^=KCD^=90o→KH⊥HD
Vì ΔCHBΔCHB vuông tại H, D là trung điểm BC
→(D,DH)→(D,DH) là đường tròn ngoại tiếp ΔCHBΔCHB
Do KH⊥HD→KHKH⊥HD→KH là tiếp tuyến của (D)
→đpcm→đpcm
d.Ta có: AC⊥BC,ˆBAC=30o→ΔABCAC⊥BC,BAC^=30o→ΔABC là nửa tam giác đều
→SABC=12⋅AB2√34=8√3→SABC=12⋅AB234=83
Vì AB=8→R=12AB=4→SO=π.R2=16πAB=8→R=12AB=4→SO=π.R2=16π
→→Diện tích phần nửa hình tròn nằm ngoài tam giác ABC là: SO−SABC=16π−8√3