Cho nửa đường tròn(O;R) đường kính AB và I là điểm thuộc nửa đường tròn, tiếp tuyến tại I cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt ở C và D a/ Chứng minh CD

Giải thích các bước giải:

a,

CI  và CA là 2 tiếp tuyến kẻ từ C đên đường tròn nên CI =CA

DI và DB là 2 tiếp tuyến kẻ từ D đến đường tròn nên DI = DB.

Do đó,  \(CD = CI + ID = CA + DB\)

CA = CI nên C nằm trên trung trực của IA

OI = OA = R nên O là trung trực của IA

Suy ra OC là trung trực của IA. Do đó, \(\widehat {IOC} = \widehat {COA}\)

Tương tự ta cũng có:  OD là trung trực của IB nên \(\widehat {IOD} = \widehat {DOB}\)

Do đó, \(\widehat {COD} = \widehat {COI} + \widehat {IOD} = \frac{1}{2}\widehat {AOI} + \frac{1}{2}\widehat {IOB} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {AOI} + \widehat {IOB}} \right) = 90^\circ \)

Vậy tam giác COD vuông tại O.

b,

Tam giác COD vuông tại O có đường cao OI nên ta có:

\(CI.ID = O{I^2} \Leftrightarrow CA.BD = {R^2}\)

c,

Tam giác OCD vuông tại O nên:

\(\begin{array}{l}
CD = \sqrt {O{C^2} + O{D^2}}  = \sqrt {{6^2} + {8^2}}  = 10\left( {cm} \right)\\
DB = ID = \frac{{O{D^2}}}{{CD}} = \frac{{{8^2}}}{{10}} = \frac{{32}}{5}\left( {cm} \right)
\end{array}\)