Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. M, N là 2 điểm nằm trên đường tròn sao cho M thuộc cung AN và tổng khoảng cách từ A, B đến M, N = R√3
a) Gọi giao điểm của AN với BM là I, giao điểm của AM với BN là K. Chứng minh M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó theo R
b) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác AKB theo R khi M, N thay đổi nhưng vẫn thoả mãn điều kiện đề bài
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a,Tứ giác KMIN nội tiếp trong đường tròn đường kính KI, gọi Q là tâm đường tròn –> Q trung điểm KI , vì MN = R –. tg MNO đều –> góc MAN = 30 độ ,trong tg vuông AKN có MAN = 30 độ –> góc MKN = 60 độ –>góc MQN = 120 độ, vẽ QR vuông góc MN –> R trung điểm MN –> MR = R/2, trong tg MQR nửa đều –> QR = MQ/2 và MR = R/2 –> MQ = R*căn 3/3 –> Bán kính đường tròn = MQ = R*căn 3/3
b, diên tích tg KAB lớn nhất khi KK’ đường cao lớn nhất (vì AB không đổi) khi K’ trùng O –>tg KAB đều –> KK’ = R*căn 3 –> S(KAB) =(KK’.AB)/2 = R^2*căn 3