Cho (O) đường kính AB=10 cm. Điểm I nằm giữa A và O sao cho OI=3/2 IA. Vẽ cung CD vuông góc với OA tại I. Nối AC, BC
a) CMR: AC^2=AI x AB
b) Tính CD
c)Gọi H là trung điểm của IC. Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với CO cắt CO tại M và cắt (O) tại E,F. CMR: AB là tiếp tuyến của (C) bán kính CE
Giải thích các bước giải:
a. Vì C thuộc đường tròn đường kính AB nên ΔACB vuông tại C
Xét tam giác ACB vuông tại C có đường cao CI
(CD vuông góc với OA tại I)
Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông ta được: $A{C^2} = AI.AB$
b. Vì I nằm giữa A và O sao cho OI = 3/2 IA nên $OI = {3 \over 5}OA = 3$ (cm)
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác CIO vuông tại I ta được:
$CI = \sqrt {C{O^2} – O{I^2}} = \sqrt {{5^2} – {3^2}} = 4$ (cm)
Do dây cung CD vuông góc với OA tại I nên I là trung điểm của CD
Suy ra: CD = 2CI = 8 (cm)
c. Kéo dài CO cắt (O) tại điểm thứ hai là K
Tam giác CMH đồng dạng với tam giác CIO (g-g)
nên ${{CM} \over {CI}} = {{CH} \over {CO}} = {{CI} \over {2CO}}$ (H là trung điểm của CI)
$ \Rightarrow C{I^2} = CM.2CO$ (1)
Tam giác CEK vuông tại E, đường cao CM nên $C{E^2} = CM.CK = CM.2CO$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra CI = CE và CI vuông góc với AB nên AB là tiếp tuyến của (C) bán kính CE.