Cho (O; R) đường kính AB, trên đường tròn này lấy điểm C sao cho BC = R. Từ B vẽ tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến này cắt đường thẳng AC tại D.
a) Chứng minh tam giác ACB vuông tại C
b) Tính theo R các đoạn thẳng AC, BD
c) Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác CBD, gọi O’ là tâm đường tròn này. Chứng minh O’C là tiếp tuyến của (O) và AB là tiếp tuyến của (O’)
Giải thích các bước giải:
a.Vì C thuộc đường tròn đường kính AB
$\rightarrow \widehat{ACB}=90^o\rightarrow \Delta ACB$ vuông tại C
b.Ta có:
$AC^2=AB^2-BC^2=(2R)^2-R^2=3R^2$
$\rightarrow AC=R\sqrt{3}$
Xét $\Delta ABD, BC\perp AD$
$\rightarrow \dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{DB^2}=\dfrac{1}{AC^2}$
$\rightarrow BD=\dfrac{2R\sqrt{3}}{3}$
c.Vì $\Delta CBD$ vuông tại C
$\rightarrow $Gọi O’ là trung điểm BD$\rightarrow (O’, \dfrac{BD}{2})=(O’, \dfrac{R\sqrt{3}}{3})$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta CBD$
$\rightarrow O’C=O’B$ kết hợp $OB=OC$
$\rightarrow \Delta O’BO=\Delta O’CO(c.c.c)\rightarrow \widehat{O’CO}=\widehat{O’BO}=90^o$
$\rightarrow O’C$ là tiếp tuyến của (O)
Vì $O’B\perp AB$
$\rightarrow AB $ là tiếp tuyến của (O’)