Cho p là số nguyên tố, p $\geq$ 5 thoả mãn 2p + 1 là số nguyên tố CMR: p(p + 5) + 31 là hợp số 06/07/2021 Bởi Caroline Cho p là số nguyên tố, p $\geq$ 5 thoả mãn 2p + 1 là số nguyên tố CMR: p(p + 5) + 31 là hợp số
Ta có p là số nguyên tố $\geq$ 5 nên p không chia hết cho 3 ⇒ p = 3k + 1; 3k + 2 (k ∈ N) Nếu p = 3k + 1 ⇒ 2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 3 chia hết cho 3 (vô lí) Vậy p = 3k + 2 ⇒ p(p + 5) + 31 = (3k + 2) . ( 3k + 7) + 31 = 9k² + 27k + 14 + 31 = 9k² + 27k + 45 Mà 9k² + 27k + 45 chia hết cho 3 ⇒ p(p + 5) là hợp số (đpcm) Bình luận
Vì `p` là số nguyên tố , ` p \ge 5` nên `p` có dạng ` p = 3k+1` hoặc ` p = 3k+2` Xét ` p = 3k+1` `\to 2p +1 = 2(3k+1) +1 = 6k + 3 = 3(2k+1) \vdots 3` Nên ` 2p+1` không là số nguyên tố (loại) Vậy ` p = 3k+2` Khi đó ta có ` p(p+5) +31` ` = (3k+2)(3k+2+5) +31` ` = (3k+2)(3k+7) +31` ` = 9k^2 +21k + 6k + 14 +31` ` = 9k^2 +27k + 45` ` = 9(k^2 + 3k + 5) \ \vdots\ 9` Vì ` p(p+5) +31\ \vdots 9` nên ` p(p+5) +31` là hợp số (điều phải chứng minh) Bình luận
Ta có p là số nguyên tố $\geq$ 5 nên p không chia hết cho 3
⇒ p = 3k + 1; 3k + 2 (k ∈ N)
Nếu p = 3k + 1
⇒ 2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 3 chia hết cho 3 (vô lí)
Vậy p = 3k + 2
⇒ p(p + 5) + 31 = (3k + 2) . ( 3k + 7) + 31 = 9k² + 27k + 14 + 31 = 9k² + 27k + 45
Mà 9k² + 27k + 45 chia hết cho 3
⇒ p(p + 5) là hợp số (đpcm)
Vì `p` là số nguyên tố , ` p \ge 5` nên `p` có dạng ` p = 3k+1` hoặc ` p = 3k+2`
Xét ` p = 3k+1`
`\to 2p +1 = 2(3k+1) +1 = 6k + 3 = 3(2k+1) \vdots 3`
Nên ` 2p+1` không là số nguyên tố (loại)
Vậy ` p = 3k+2`
Khi đó ta có ` p(p+5) +31`
` = (3k+2)(3k+2+5) +31`
` = (3k+2)(3k+7) +31`
` = 9k^2 +21k + 6k + 14 +31`
` = 9k^2 +27k + 45`
` = 9(k^2 + 3k + 5) \ \vdots\ 9`
Vì ` p(p+5) +31\ \vdots 9` nên ` p(p+5) +31` là hợp số (điều phải chứng minh)