Cho p và 4p+1 là các số nguyên tố (p>3) Cmr: 2p+1 là hợp số 12/08/2021 Bởi Rylee Cho p và 4p+1 là các số nguyên tố (p>3) Cmr: 2p+1 là hợp số
$\text{Vì : }$ `p>3` `⇒` p có dạng `:3k+1hoăc 3k+2` $\text{Xét}$` p=3k+1` `=> 4p+1 = 4(3k+1)+1=12k+4+1=12k+5` $\text{(nguyên tố)}$ `⇒2p+1=2(3k+1)+1=6k+2+1=6k+3⋮3` $\text{(hợp số)}$ $\text{Xét}$ `p=3k+2` `⇒4p+1=4(3k+2)+1=12k+8+1=12k+9⋮3` $\text{(hợp số-Loại)}$ `⇒2p+1=2(3k+2)+1=6k+4+1=6k+5 `$\text{(nguyên tố-Loại)}$ `=> 2p+1 ` $\text{là hợp số }$ ⇔p=3k+1` $\text{(điều phải chứng minh )}$ Bình luận
Đáp án: $2p+1$ là hợp số$⇔p=3k+1 $ Giải thích các bước giải: Vì $p>3 $ $⇒p$ có dạng:\(\left[ \begin{array}{l}3k+1\\3k+2\end{array} \right.\) Xét $p=3k+1$ $⇒4p+1=4(3k+1)+1=12k+4+1=12k+5$ (Nguyên tố) $⇒2p+1=2(3k+1)+1=6k+2+1=6k+3 \vdots 3$(Hợp số-đpcm) Xét $p=3k+2$ $⇒4p+1=4(3k+2)+1=12k+8+1=12k+9 \vdots 3$(Hợp số-Loại) $⇒2p+1=2(3k+2)+1=6k+4+1=6k+5$ (Nguyên tố-Loại) Nên $2p+1 $ là hợp số$⇔p=3k+1 $ Vậy đpcm Bình luận
$\text{Vì : }$ `p>3`
`⇒` p có dạng `:3k+1hoăc 3k+2`
$\text{Xét}$` p=3k+1`
`=> 4p+1 = 4(3k+1)+1=12k+4+1=12k+5` $\text{(nguyên tố)}$
`⇒2p+1=2(3k+1)+1=6k+2+1=6k+3⋮3` $\text{(hợp số)}$
$\text{Xét}$ `p=3k+2`
`⇒4p+1=4(3k+2)+1=12k+8+1=12k+9⋮3` $\text{(hợp số-Loại)}$
`⇒2p+1=2(3k+2)+1=6k+4+1=6k+5 `$\text{(nguyên tố-Loại)}$
`=> 2p+1 ` $\text{là hợp số }$ ⇔p=3k+1` $\text{(điều phải chứng minh )}$
Đáp án:
$2p+1$ là hợp số$⇔p=3k+1 $
Giải thích các bước giải:
Vì $p>3 $
$⇒p$ có dạng:\(\left[ \begin{array}{l}3k+1\\3k+2\end{array} \right.\)
Xét $p=3k+1$
$⇒4p+1=4(3k+1)+1=12k+4+1=12k+5$ (Nguyên tố)
$⇒2p+1=2(3k+1)+1=6k+2+1=6k+3 \vdots 3$(Hợp số-đpcm)
Xét $p=3k+2$
$⇒4p+1=4(3k+2)+1=12k+8+1=12k+9 \vdots 3$(Hợp số-Loại)
$⇒2p+1=2(3k+2)+1=6k+4+1=6k+5$ (Nguyên tố-Loại)
Nên $2p+1 $ là hợp số$⇔p=3k+1 $
Vậy đpcm