cho p và p mũ 2 + 2 là số nguyên tố .Chứng minh : p mũ 3 + 2 là số nguyên tố

0 bình luận về “cho p và p mũ 2 + 2 là số nguyên tố .Chứng minh : p mũ 3 + 2 là số nguyên tố”

1. – Vì `p in NN` nên \(\left[ \begin{array}{l}p=3k\,\,\,(p=3)\\ p=3k+1 \\ p=3k+2\end{array} \right.\)

   – Với `p=3k (p=3)` thì $\begin{cases} p^2+2=3^2+2=11 \,\,\, \text{là số nguyên tố ™} \\ p^3+2=3^3+2=29 \,\,\, \text{là số nguyên tố} \end{cases}$

   – Với `p=3k+1` thì `p^2+2=(3k+1)(3k+1)+2=3k(3k+1)+3k+1+2=3k(3k+1)+3k+3 vdots 3`

   mà `p^2+2>3`

   `-> p^2+2` là hợp số (loại)

   – Với `p=3k+2` thì `p^2+2=(3k+2)(3k+2)+2=3k(3k+2)+2(3k+2)+2=3k(3k+2)+6k+4+2=3k(3k+2)+6k+6 vdots 3`

   mà `p^2+2>3`

   `-> p^2+2` là hợp số (loại)

   – Vậy với `p` và `p^2+2` là số nguyên tố thì `p^3+2` là số nguyên tố `(đpcm)`

   Bình luận

2. theo đầu bài ta có: p và p² +2 là số nguyên tố

   +) với p = 2 => p² +2 = 2² + 2 = 6 (loại) (vì trái với đầu bài)  (1)

   +) với p = 3 => 3² + 2 = 11 ™  (2)

   +với p > 3 => p có dạng 3k+1 và 3k+2

   +) với p = 3k+1 => p²+2 = (3k+1)²+2 = 9k²+3k+3k+1+2 = 9k²+3k+3k+3 chia hết cho 3 (loại) (trái với đầu bài)

   +) với p = 3k+2 => p²+2 = (3k+2)² +2 = 9k²+6k+6k+4+2 = 9k² +6k+6k+6 chia hết cho 3 (loại) (trái với đầu bài)  (3)

   từ (1);(2) và (3) => p = 3

   với p = 3 => p³+2 = 3³+2 = 29 ™

   vậy p³ +2 là số nguyên tố (đpcm)

    

   Bình luận