Cho (P) y = $x^{2}$ và (d) y = mx – m + 1
a) Tìm tọa độ giao điểm với m = -3
b) Tìm m để (d) ∩ (P) tại 2 điểm pb t/m $x1^{2}$ + $x2^{2}$ = x1 + x2
Cho (P) y = $x^{2}$ và (d) y = mx – m + 1
a) Tìm tọa độ giao điểm với m = -3
b) Tìm m để (d) ∩ (P) tại 2 điểm pb t/m $x1^{2}$ + $x2^{2}$ = x1 + x2
Đáp án + Giải thích các bước giải:
+) Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(P)` và `(d)` ta có:
`x^2=mx-m+1`
`<=>x^2-mx+m-1=0` `(1)`
+) Thay `m=-3` vào phương trình `(1)` ta có:
`x^2+3x-3-1=0`
`<=>x^2+3x-4=0`
`<=>x^2+4x-x-4=0`
`<=>x(x+4)-(x+4)=0`
`<=>(x+4)(x-1)=0`
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x+4=0\\x-1=0\end{array} \right.\)`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=-4\\x=1\end{array} \right.\)
+) Thay `x=-4` vào `(P)` ta có:
`y=(-4)^2`
`<=>y=16`
Vậy ta được toạ độ `A(-4;16)`
+) Thay `x=1` vào `(P)` ta có:
`y=1^2`
`<=>y=1`
Vậy ta được toạ độ `B(1;1)`
Vậy khi `m=-3` ta được toạ độ giao điểm `A(-4;16),B(1;1)`
`b)` Theo phần a, ta có: `x^2-mx+m-1=0`
`Delta=(-m)^2-4.1.(m-1)`
`=m^2-4m+4`
`=(m-2)^2\geq0∀m∈RR`
+) Để `(P)∩(d)` tại 2 điểm phân biệt thì: `m-2\ne0<=>m\ne2`
Vậy khi `m\ne2` thì `(P)∩(d)` tại 2 điểm phân biệt.
+) Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{cases}$
+) Lại có: `x_1^2+x_2^2=x_1+x_2`
`<=>(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=x_1+x_2`
`=>m^2-2(m-1)=m`
`<=>m^2-2m+2-m=0`
`<=>m^2-3m+2=0`
`<=>m^2-m-2m+2=0`
`<=>m(m-1)-2(m-1)=0`
`<=>(m-1)(m-2)=0`
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m-1=0\\m-2=0\end{array} \right.\)`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m=1(\text{tmđk})\\m=2(\text{ktmđk})\end{array} \right.\)
Vậy với `m=1` thì `(P)∩(d)` tại 2 điểm phân biệt thoả mãn `x_1^2+x_2^2=x_1+x_2`
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a, Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x² = mx – m + 1
⇔ x² – mx + m – 1 = 0(*)
Thay m = -3 vào phương trình (*), ta có:
x² + 3x – 4 = 0
Δ = 3² -4·1·(-4)= 9 + 16 = 25
⇒$\sqrt{Δ}$ = 5
Vì Δ>0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
$x_{1}$ = $\frac{-3+5}{2.1}$ =$\frac{2}{2}$ = 1
$x_{2}$ = $\frac{-3-5}{2.1}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4
*x=1⇒y=1⇒(1;1)
*x=-4⇒y=16⇒(-4;16)
Vậy khi m = -3 thì (d) ∩(P) tại 2 điểm (1;1) và (-4;16)
b, (d) ∩ (P) tại 2 điểm phân biệt ⇔Pt(*) có 2 nghiệm phân biệt
⇔Δ>0⇔(-m)² – 4·1·(m-1)=m²-4m+4=(m-2)²
Ta có: (m-2)²≥0∀m ⇒m-2$\neq$ 0⇔m$\neq$ 2
Theo viet, ta có:
$\left \{ {{x_{1}+x_{2}=m} \atop {x_{1}x_{2}=m-1}} \right.$
Ta có: $x_{1}²$ + $x_{2}²$ = $x_{1}$ + $x_{2}$
⇔ ($x_{1}$ + $x_{2}$)² – 2$x_{1}$$x_{2}$ = m
⇔ m² – 2(m-1)=m
⇔m² – 2m + 2 – m =0
⇔m(m-1)-2(m-1)=0
⇔(m-1)(m-2)=0
⇔\(\left[ \begin{array}{l}m=1(tmđk)\\m=2(ktmđk)\end{array} \right.\)
Vậy m=1 thì (d)∩(P) tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn $x_{1}²$ + $x_{2}²$ = $x_{1}$ + $x_{2}$