Cho (P) : y=x ² va (d): y=2(m-1)x -2m+5
a)CM (d) luon cat (P) tai 2 điểm phân biệt
b) Gọi x1,x2 là hoành độ gđ của (d) và (P) . Tìm các giá trị m để √x1 = √x2 +2
Cho (P) : y=x ² va (d): y=2(m-1)x -2m+5
a)CM (d) luon cat (P) tai 2 điểm phân biệt
b) Gọi x1,x2 là hoành độ gđ của (d) và (P) . Tìm các giá trị m để √x1 = √x2 +2
Đáp án:
a) Xét pt hoành độ giao điểm:
$\begin{array}{l}
{x^2} = 2\left( {m – 1} \right)x – 2m + 5\\
\Rightarrow {x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x + 2m – 5 = 0\\
\Delta ‘ = {\left( {m – 1} \right)^2} – 2m + 5\\
= {m^2} – 2m + 1 – 2m + 5\\
= {m^2} – 4m + 4 + 2\\
= {\left( {m – 2} \right)^2} + 2 > 0
\end{array}$
=> pt luôn có 2 nghiệm phân biệt
=> chúng luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
b) Để thỏa mãn thì pt hoành độ giao điểm phải có 2 nghiệm dương
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\left( {m – 1} \right) > 0\\
2m – 5 > 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow m > \dfrac{5}{2}\\
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2\left( {m – 1} \right)\\
{x_1}{x_2} = 2m – 5
\end{array} \right.\\
\sqrt {{x_1}} = \sqrt {{x_2}} + 2\\
\Rightarrow \sqrt {{x_1}} – \sqrt {{x_2}} = 2\\
\Rightarrow {x_1} – 2\sqrt {{x_1}{x_2}} + {x_2} = 4\\
\Rightarrow 2\left( {m – 1} \right) – 2\sqrt {2m – 5} = 4\\
\Rightarrow 2\sqrt {2m – 5} = 2m – 6\\
\Rightarrow \sqrt {2m – 5} = m – 3\left( {dk:m \ge 3} \right)\\
\Rightarrow 2m – 5 = {m^2} – 6m + 9\\
\Rightarrow {m^2} – 8m + 14 = 0\\
\Rightarrow {\left( {m – 4} \right)^2} = 2\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 4 + \sqrt 2 \left( {tmdk} \right)\\
m = 4 – \sqrt 2 \left( {ktm} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy $m = 4 + \sqrt 2 $