Cho parabol (P) y=x ²/2 và đg thẳng (d) mx+y=2 cắt nhau tại hai điểm phân biệt A ,B .Giá trị của m để độ dài đọan thẳng AB nhỏ nhất

Phương trình hoành độ giao điểm

$\dfrac{x^2}{2}=2-mx\\ \Leftrightarrow x^2+2mx-4=0$

Có $a.c=1.(-4)=-4<0\Rightarrow$ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.

Theo Vi-et ta có 

$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=-4\end{matrix}\right.$

Giả sử A,B có toạ độ là

$A(x_1;y_1);B(x_2;y_2)$ hay $A\bigg(x_1;\dfrac{x_1^2}{2}\bigg);B\bigg(x_2;\dfrac{x_2^2}{2}\bigg)$

$\Rightarrow AB^2=(x_2-x_1)^2+(\dfrac{x_2^2}{2}-\dfrac{x_1^2}{2})^2\\ =(x_1+x_2)^2-4x_1x_2+\dfrac{[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2](x_1+x_2)^2}{4}\\ =4m^2+16+\dfrac{4m^2(4m^2+16)}{4}\\ =4m^2+16+4m^4+16m^2\\ =(2m^2+4)^2+4m^2$

Vì $(2m^2+4)^2+4m^2\ge16\forall\ m \in R$ nên $AB^2\ge16$ hay $AB\ge4$

AB đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi $(2m^2+4)^2+4m^2$ nhỏ nhất hay m=0.