Cho Parabol (P) y = x^2 và đường thẳng (d) y = (2m – 1)x – m + 2 (m là tham số)
Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1) và B(x2;y2) thỏa x1y1 + x2 y2 = 0
a, Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có:
y=x2
=> x2=(2m-1)x-m+2
<=> x2-(2m-1)x+m-2=0
Đenta= [-(2m-1)]2 -4(m-2)
Đenta= 4m2+4m+1 – 4m+8
Đenta= 4m2+9
Ta có: 4m2>0 với mọi m; 9>0 (luôn đúng)
=> d luôn cắt P tại 2 điểm phân biệt
b, Áp dụng hệ thức Viet ta có:
x1+x2=-b/a= 2m-1
x1x2= c/a= m-2
Ta có: x1y1+x2y2=0
mà y=x2
=> x1x1 mũ 2 + x2x2 mũ 2=0
<=> x1x2 (x1+x2)=0
<=> m-2 (2m-1)=0
<=> 2m2-m-4m+2=0
<=> 2m2-5m+2=0
Đenta= (-5)2 – 4.2.2
Đenta=9>0
=> phương trình có 2 nghiệm phân biệt
m1=-b+căn đenta/2a= 5+căn 9/2.2=2
m2=-b-căn đenta/2a= 5-căn9/2.2=1/2
Vậy m1=2; m2=1/2 để d luôn cắt P tại 2 điểm phân biệt A(x1;y1) và B(x2;y2) thỏa mãn x1y1+x2y2=0
Hđ g/đ là nghiệm pt
`x^2=(2m-1)x-m+2`
`<=>x^2-(2m-1)+m-2=0`
`Delta=(2m-1)^2-4(m-2)`
`=4m^2-4m+1-4m+8`
`=4m^2-8m+4+5`
`=(2m-2)^2+5>=5>0`
`=>` pt luôn có 2 nghiệm pb `AAm`.
Áp dụng vi-ét ta có:$\begin{cases}x_1.x_2=2m-1\\x_1.x_2=m-2\\\end{cases}$
Ta có:
`y_1=x_1^2,y_2=x_2^2`
`x_1.y_1+x_2.y_2=0`
`<=>x_1^3+x_3^3=0`
`<=>(x_1+x_2)(x_1^2-x_1.x_2+x_2^2)=0`
`<=>(2m-1)[(x_1+x_2)^2-3x_1.x_2]=0`
`<=>(2m-1)[(2m-1)^2-3(m-2)]=0`
`<=>(2m-1)(4m^2-4m+1-3m+7)=0`
`<=>(2m-1)(4m^2-7m+7)=0`
`+)2m-1=0<=>m=1/2`
`+)4m^2-7m+7=0`
`Delta=7^2-4.7.4`
`=49-112<0`
`=>` pt này vô nghiệm
Vậy `m=1/2` thì `x_1.y_1+x_2.y_2=0`