Cho Parabol (P) y=x ²/2 và đường thg (d) mx+y =2 cắt nhau tại hai điểm phân biệt A ,B .Giá trị của m để độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất

$(d): y=-mx+2$

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\dfrac{x^2}{2}=-mx+2$

$\to x^2+2mx-4=0$

$\Delta’=m^2+4>0\quad\forall m$

$\to (P)$ cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt với mọi $m$.

Đặt $x_A=x_1; x_B=x_2$

Theo Viet: $x_1+x_2=-2m; x_1x_2=-4$

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

$=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(0,5x_1^2-0,5x_2^2)^2}$

$=\sqrt{x_1^2+x_2^2-2x_1x_2+0,25(x_1^4+x_2^4)-0,5x_1^2x_2^2}$

$=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2+0,25[(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2]-0,5x_1^2x_2^2}$

$=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2+0,25[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]^2-0,5(x_1x_2)^2-0,5.(x_1x_2)^2}$

$=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2-(x_1x_2)^2+0,25[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]^2}$

$=\sqrt{4m^2+16-16+0,25(4m^2+8)^2}$

$=\sqrt{0,25(16m^4+64m^2+64)+4m^2}$

$=\sqrt{8m^4+16^2+16}$

$=\sqrt8.\sqrt{m^4+2m^2+2}$

$=\sqrt8.\sqrt{(m^2+4)^2+1}\ge \sqrt8$

Dấu $=$ xảy ra khi $m^2+4=0$ (vô lí)

$\to$ không tồn tại $m$ để $AB$ $\min$