Cho phương trình $x^2-2(m-1)x+m+1=0.$ Tìm m để phương trình có $2$ nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn: $[x_1^2-2(m-1)x_1+5][x_2^2-2(m-1)x_2+m=3$

Đáp án: $m=7$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$Δ=[-2(m-1)]^2-4.1.(m+1)$

$=4m^2-8m+4-4m-4$

$=4m^2-12m$

Phương trình có $2$ nghiệm

$⇔Δ≥0⇔4m^2-12m≥0⇔4m(m-3)≥0$

$⇔\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}4m≥0\\m-3≥0\end{cases}\\\begin{cases}4m≤0\\m-3≤0\end{cases}\end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}m≥0\\m≥3\end{cases}\\\begin{cases}m≤0\\m≤3\end{cases}\end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l}m≥3\\m≤0\end{array} \right.$

Do $x_1;x_2$ là nghiệm của phương trình nên:

$\begin{cases}x_1^2-2(m-1)x_1+m+1=0\\x_2^2-2(m-1)x_2+m+1=0\end{cases}⇔\begin{cases}x_1^2-2(m-1)x_1+5=4-m\\x_2^2-2(m-1)x_2+m=-1\end{cases}$

Ta có: $[x_1^2-2(m-1)x_1+5][x_2^2-2(m-1)x_2+m]=3$

$⇔(4-m)(-1)=3$

$⇔m-4=3⇔m=7$ (thỏa mãn)