cho phương trình x^2-2(m-1)x+m^2-2m-3=0. Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1+1=căn(x2)

Đáp án: $m=\dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}$

Giải thích các bước giải:

Ta có :
$x^2-2(m-1)x+m^2-2m-3=0$

$\to x^2-2(m-1)x+(m-1)^2-4=0$

$\to (x-m+1)^2-2^2=0$

$\to (x-m+1+2)(x-m+1-2)=0$

$\to (x-m+3)(x-m-1)=0$
$\to x\in\{m+3,m+1\}$

$+) x_1=m+3, x_2=m+1$

$\to m+3=\sqrt{m+1}$

$\to (m+1)-\sqrt{m+1}+2=0$
$\to (\sqrt{m+1}-\dfrac12)^2+\dfrac74=0$

$\to$Vô nghiệm

$+) x_1=m+1,x_2=m+3$
$\to m+1+1=\sqrt{m+3}$
$\to (m+3)-\sqrt{m+3}-1=0$

$\to 4(m+3)-4\sqrt{m+3}-4=0$

$\to (2\sqrt{m+3}-1)^2=5$
$\to 2\sqrt{m+3}-1=\sqrt5\to m=\dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}$

Hoặc $2\sqrt{m+3}-1=-\sqrt5\to 2\sqrt{m+3}=1-\sqrt5<0\to$ Vô nghiệm