Cho phương trình x^2 -2(m-1)x+m^2-3m = 0.
a) Giải phương trình với m=-2
b) Tìm m để phương trình có 1 nghiệm x=-2. Tìm nghiệm còn lại
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn: x1^2 + x2^2 =8
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$\displaystyle x^{2} -2( m-1) x+m^{2} -3m=0$
a. Với m=-2, Khi đó PT trên trở thành:
$\displaystyle x^{2} -6x+10=0$
⇔$\displaystyle ( x-3)^{2} +1=0\ ( vô\ lý\ do\ ( x-3)^{2} \geqslant 0\ với\ mọi\ x$
⇒PT trên vô nghiệm với m = -2
b. Nếu x = -2 là nghiệm của PT thì: $\displaystyle ( -2)^{2} -2( m-1)( -2) +m^{2} -3m=0$
⇔$\displaystyle m^{2} +m=0$
⇔ $\displaystyle m=0\ hoặc\ m=-1$
Nếu $\displaystyle m=0$ thì PT trở thành: $\displaystyle x^{2} +2x=0$
Khi đó nghiêmj còn lại $\displaystyle x=0$
Nếu $\displaystyle m=-1$ thì PT trở thành: $\displaystyle x^{2} +4x =4=0$
Khi đó nghiêmj còn lại $\displaystyle x=-2$ (nghiệm kép)
c. Ta có Δ’= $\displaystyle ( m-1)^{2} -\left( m^{2} -3m\right)$ = $\displaystyle m+1$
Để PT có 2 nghiệm phân biệt⇔Δ’>0 ⇔ $\displaystyle m+1$ > 0 ⇔ m>-1
d. Theo định lí Vi et, ta có $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
x_{1} +x_{2} =2( m-1)\\
x_{1} x_{2} =m^{2} -3m
\end{array}$
Ta có $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} x^{2}_{1} +x^{2}_{2} =\left( x_{1} +x_{2}\right)^{2} -2x_{1} x_{2} =8\\ \end{array}$
⇔$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} ( 2m-2)^{2} -2( m^{2} -3m=8\\ \end{array}$
⇔$\displaystyle 2m^{2} -4m-4=0$
⇔$\displaystyle m=2\ ( t/m) \ hoặc\ m=-1( loại)$
Vậy….
Đáp án:
a) m=2
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
a)Thay:m = – 2\\
Pt \to {x^2} + 6x + 10 = 0\\
Do:{x^2} + 6x + 10 = \left( {{x^2} + 6x + 9} \right) + 1\\
= {\left( {x + 3} \right)^2} + 1 > 0\forall x\\
\to x \in \emptyset \\
b)Xét:\Delta ‘ \ge 0\\
\to {m^2} – 2m + 1 – {m^2} + 3m \ge 0\\
\to m + 1 \ge 0\\
\to m \ge – 1\\
Thay:x = – 2\\
Pt \to 4 + 4\left( {m – 1} \right) + {m^2} – 3m = 0\\
\to {m^2} + m = 0\\
\to \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = – 1
\end{array} \right.\\
Thay:\left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = – 1
\end{array} \right.\\
Pt \to \left[ \begin{array}{l}
{x^2} + 2x = 0\\
{x^2} + 4x + 5 = 0\left( {vonghiem} \right)
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = – 2
\end{array} \right.\\
c)Xet:\Delta ‘ > 0\\
\to {m^2} – 2m + 1 – {m^2} + 3m > 0\\
\to m + 1 > 0\\
\to m > – 1\\
d){x_1}^2 + {x_2}^2 = 8\\
\to {x_1}^2 + {x_2}^2 + 2{x_1}{x_2} – 2{x_1}{x_2} = 8\\
\to {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} = 8\\
\to {\left( {2m – 2} \right)^2} – 2\left( {{m^2} – 3m} \right) = 8\\
\to 4{m^2} – 8m + 4 – 2{m^2} + 6m – 8 = 0\\
\to 2{m^2} – 2m – 4 = 0\\
\to \left[ \begin{array}{l}
m = 2\left( {TM} \right)\\
m = – 1\left( l \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)