Cho phương trình x^2 – 2(m+1)x – m+4 a, Cm phương trình luôn có 2 nghiêm phân biệt x1,x2 với mọi giá trị của m b, tìm gtnn của biểu thức M=|x1 -x2|

Đáp án:

$\begin{array}{l}
{x^2} – 2\left( {m + 1} \right)x – m – 4 = 0\\
\Delta ‘ = {\left( {m + 1} \right)^2} + m + 4\\
 = {m^2} + 2m + 1 + m + 4\\
 = {m^2} + 3m + 5 > 0\forall x\\
 \Rightarrow pt\,có\,2\,nghiệm\,pb\,\forall x\\
b)Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m + 2\\
{x_1}{x_2} =  – m – 4
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow M = \left| {{x_1} – {x_2}} \right|\\
 \Rightarrow {M^2} = {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2}\\
 = {\left( {2m + 2} \right)^2} – 4.\left( { – m – 4} \right)\\
 = 4{m^2} + 8m + 4 + 4m + 16\\
 = 4{m^2} + 12m + 20\\
 = 4\left( {{m^2} + 3m + 5} \right)\\
 = 4\left( {{m^2} + 2.m.\frac{3}{2} + \frac{9}{4}} \right) + 11\\
 = 4{\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} + 11 \ge 11\forall x\\
 \Rightarrow {M^2} \ge 11\\
 \Rightarrow M \ge \sqrt {11} \\
 \Rightarrow GTNN:M = \sqrt {11} 
\end{array}$