Cho phương trình $x^{2}$ + 2mx+1=0 (1)
Tìm giá trị của m để phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt x1 x2 sao cho biểu thức A = $x1^{2}$ + ($x1^{2}$ -2012) +$x2^{2}$ ($x2^{2}$ -2012) đạt giá trị nhỏ nhất hãy tìm giá trị nhỏ nhất đó
Cho phương trình $x^{2}$ + 2mx+1=0 (1)
Tìm giá trị của m để phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt x1 x2 sao cho biểu thức A = $x1^{2}$ + ($x1^{2}$ -2012) +$x2^{2}$ ($x2^{2}$ -2012) đạt giá trị nhỏ nhất hãy tìm giá trị nhỏ nhất đó
A = ($x_{1}$² – 2012 ) + $x_{2}$²($x_{2}$² – 2012)
A = $x_{1}^{4}$ – 2012$x_{1}$² + $x_{2}^{4}$ – 2012$x_{2}$²
A = $x_{1}^{4}$ + $x_{2}^{4}$ – 2012($x_{1}$² + $x_{2}$²)
A = ($x_{1}$² + $x_{2}$²)² – 2$x_{1}$²$x_{2}$² – 2012($x_{1}$² + $x_{2}$²)
Áp dụng hệ thức Vi ét ta có
$\left \{ {{x_{1} + x_{2} = \frac{-b}{a} = \frac{-2m}{1} = -2m} \atop {x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} = 1}} \right.$
⇒ $x_{1}$² + $x_{2}$² = ($x_{1}$ + $x_{2}$ )² – 2$x_{1}$$x_{2}$
Thay vào A ta được :
A = ( 4m² – 2 )² – 2.( 1 )² – 2012.( 4m² – 2 )
⇔ $x_{1}$² + $x_{2}$² = (-2m)² -2 . 1
⇔ $x_{1}$² + $x_{2}$² = 4m² – 2
Thay vào A ta được :
⇔ A = ( 4m² – 2 )² – 2.1006.( 4m² – 2 ) – 1006² – 1012038
⇔ A = ( 4m² – 2 – 1006 )² ≥ 0 ∀m
⇒ GTNN của A là A = -1012038
Khi ( 4m² – 2 – 1006 )² = 0
⇔ 4m² – 1008 = 0
⇔ m² = 252
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}m = \sqrt[]{252} ( thỏa mãn ) \\m = -\sqrt[]{252} ( thỏa mãn ) \end{array} \right.\)
Vậy GTNN của A là A = -1012038
khi \(\left[ \begin{array}{l}m = \sqrt[]{252} ( thỏa mãn ) \\m = -\sqrt[]{252} ( thỏa mãn ) \end{array} \right.\)