Cho phương trình: x^2 – (2m – 1)x+2m – 4 =0
a, chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
b, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn: X1^2+ X2^2=4
Cho phương trình: x^2 – (2m – 1)x+2m – 4 =0
a, chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
b, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn: X1^2+ X2^2=4
a,$Δ= (1-2m)^{}$ $^{2}-4.(2m-4)$
$=1-4m+4m^{2}-8m+16=4m$$^{2}-12m+17=(2m-3)$$^{2}+8>0∀m$
⇒Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
b, $\left \{ {{x+y=2m-1} \atop {x.y= 2m-4}} \right.$
Theo giả thiết X1^2+ X2^2=4, có
x1^2 + 2x1x2+x2^2 – 2x1x2=4
=> (2m-1)2 – 2. 2m -4=4
=> 4m^2 -4m+1-4m +8 =4
=> 4m^2 -8m +5=0
=> m1= 5/2; m2=1/2
Đáp án:
$m = \dfrac{1}{2}$. hoặc $m = \dfrac{5}{2}$
Giải thích các bước giải:
a. $\Delta = (2m – 1)^2 – 4(2m – 4) = 4m^2 – 4m + 1 – 8m + 16 = 4m^2 – 12m + 17 = 4(m^2 – 3m + \dfrac{17}{4}) = 4[(m^2 – 2.\dfrac{3}{2}m + \dfrac{9}{4}) + 2] = 4[(m – \dfrac{3}{2})^2 + 2] > 0$ với mọi giá trị của m.
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b. Ta có:
$x_1 + x_2 = 2m – 1$
$x_1.x_2 = 2m – 4$
Vì: $x_{1}^2 + x_{2}^2 = 4$
Suy ra:
$(x_{1}^2 + 2x_1.x_2 + x_{2}^2) – 2x_1.x_2 = 4$
$\to (x_1 + x_2)^2 – 2x_1.x_2 = 4$
Thay Vi – ét vào ta được:
$(2m – 1)^2 – 2(2m – 4) = 4$
$<=> 4m^2 – 4m + 1 – 4m + 8 = 4$
$<=> 4m^2 – 12m+ 5 = 0$
Suy ra: $m = \dfrac{1}{2}$ hoặc $m = \dfrac{5}{2}$