Cho phương trình $x^{2}-3x+m-2=0$ (m là tham số), gọi $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để phương trình $A=x_{1}^2+3x_{2}+5x_{1}x_{2}$ đạt giá trị lớn nhất
Cho phương trình $x^{2}-3x+m-2=0$ (m là tham số), gọi $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để phương trình $A=x_{1}^2+3x_{2}+5x_{1}x_{2}$ đạt giá trị lớn nhất
Đáp án:
\(m = \dfrac{{17}}{4}\)
Giải thích các bước giải:
Để phương trình có 2 nghiệm
\(\begin{array}{l}
\to \Delta \ge 0\\
\to 9 – 4\left( {m – 2} \right) \ge 0\\
\to 9 – 4m + 8 \ge 0\\
\to \dfrac{{17}}{4} \ge m\\
Vi – et:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 3\\
{x_1}{x_2} = m – 2
\end{array} \right.\\
A = {x_1}^2 + 3{x_2} + 5{x_1}{x_2}\\
= {x_1}^2 + \left( {{x_1} + {x_2}} \right){x_2} + 5{x_1}{x_2}\\
= {x_1}^2 + {x_1}{x_2} + {x_2}^2 + 5{x_1}{x_2}\\
= {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 + 4{x_1}{x_2}\\
= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 4{x_1}{x_2}\\
= 9 + 4\left( {m – 2} \right)\\
= 9 + 4m – 8\\
= 4m + 1
\end{array}\)
Để A đạt GTLN
⇔ 4m-1 đạt GTLN
⇔ m đạt GTLN
Mà:
\(\begin{array}{l}
\dfrac{{17}}{4} \ge m\\
\to m = \dfrac{{17}}{4}\\
\to MaxA = 4.\dfrac{{17}}{4} + 1 = 5
\end{array}\)
Đáp án:
Không có giá trị của m thỏa mãn đề bài.
Giải thích các bước giải:
Để phương trình có 2 nghiệm `<=>\Delta>=0`
`<=>(-3)^2-4(m-2)>=0`
`<=>9-4m+8>=0`
`<=>17-4m>=0`
`<=>m<=17/4`
Theo viet: $\begin{cases}x_1+x_2=3\\x_1x_2=m-2\end{cases}$
Có `A=x_1^2+3x_2+5x_1x_2`
`A=x_1^2+(x_1+x_2)x_2+5x_1x_2`
`A=x_1^2+x_1x_2+x_2^2+5x_1x_2`
`A=(x_1+x_2)^2+4x_1x_2`
`A=3^2+4(m-2)`
`A=9+4m-8`
`A=4m+1`
Để `A` đạt GTLN `<=>m` đạt GTLN
=> Không có giá trị của m thỏa mãn đề bài.