Cho phương trình $x^2+6x+6m-m^2=0$. Tìm m để phương trình có $2$ nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn: $x_1^3-x_2^3+2x_1^2+12x_1+72=0.$

Đáp án:

$m\in\{2;4\}$

Giải thích các bước giải:

$\quad x^2 + 6x + 6m -m^2 = 0\qquad (*)$

Phương trình có hai nghiệm

$\Leftrightarrow \Delta’ \geqslant 0$

$\Leftrightarrow 9 – (6m-m^2) \geqslant 0$

$\Leftrightarrow (m-3)^2 \geqslant 0$ (luôn đúng)

$\Rightarrow$ Phương trình luôn có hai nghiệm

$(*)\Leftrightarrow (x+m)(x-m+6)= 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = – m\\x = m -6\end{array}\right.$

$+)\quad TH1: \left[\begin{array}{l}x_1= – m\\x_2 = m -6\end{array}\right.$

Khi đó:

$\quad x_1^3 – x_2^3 + 2x_1^2 + 12x_1 + 72 = 0$

$\Leftrightarrow x_1^3 – x_2^3 + 2(x_1^2 + 6x_1) + 72 = 0$

$\Leftrightarrow (-m)^3 – (m-6)^3 + 2(m^2-6m) + 72 = 0$

$\Leftrightarrow 2m^3 – 20m^2 + 120m – 288 = 0$

$\Leftrightarrow m = 4$

$+)\quad TH2:\left[\begin{array}{l}x_1= m- 6\\x_2 = -m\end{array}\right.$

Khi đó:

$\quad x_1^3 – x_2^3 + 2x_1^2 + 12x_1 + 72 = 0$

$\Leftrightarrow (m-6)^2 – (-m)^3 + 2(m^2 – 6) + 72 = 0$

$\Leftrightarrow 2m^3 – 16m^2 + 96m – 144 = 0$

$\Leftrightarrow m = 2$

Vậy $m \in \{2;4\}$