Cho phương trình $x^2+6x+6m-m^2=0$. Tìm m để phương trình có $2$ nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn: $x_1^3-x_2^3+2x_1^2+12x_1+72=0.$

0 bình luận về “Cho phương trình $x^2+6x+6m-m^2=0$. Tìm m để phương trình có $2$ nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn: $x_1^3-x_2^3+2x_1^2+12x_1+72=0.$”

1. Đáp án: $m∈\{2;4\}$

    

   Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $Δ=6^2-4.1.(6m-m^2)$

   $=36-24m+4m^2$

   Để phương trình có $2$ nghiệm

   $⇔Δ≥0$

   $⇔4m^2-24m+36≥0$

   $⇔4(m-3)^2≥0$ (luôn đúng $∀m$)

   $⇒$ Phương trình luôn có $2$ nghiệm $∀m$

   Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=-6⇔x_2=-6-x_1\\x_1x_2=6m-m^2\end{cases}$

   Thay $x_2$ vào điều kiện đề cho, ta được:

   $x_1^3-(-6-x_1)^3+2x_1^2+12x_1+72=0$

   $⇔x_1^3+x_1^3+18x_1^2+108x_1+216+2x_1^2+12x_1+72=0$

   $⇔2x_1^3+20x_1^2+120x_1+288=0$

   $⇔x_1^3+10x_1^2+60x_1+144=0$

   $⇔(x_1^3+4x_1^2)+(6x_1^2+24x_1)+(36x_1+144)=0$

   $⇔x_1^2(x_1+4)+6x_1(x_1+4)+36(x_1+4)=0$

   $⇔(x_1+4)(x_1^2+6x_1+36)=0$

   $⇔x_1+4=0$ (do $x_1^2+6x_1+36>0$)

   $⇔x_1=-4⇒x_2=-6-(-4)=-2$

   Ta có: $6m-m^2=x_1x_2=(-4)(-2)=8$

   $⇔m^2-6m+8=0$

   $⇔m^2-6m+9-1=0$

   $⇔(m-3)^2=1⇔\left[ \begin{array}{l}m-3=1\\m-3=-1\end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l}m=4\\m=2\end{array} \right.$

   Bình luận

2. Đáp án:

   $m\in\{2;4\}$

   Giải thích các bước giải:

   $\quad x^2 + 6x + 6m -m^2 = 0\qquad (*)$

   Phương trình có hai nghiệm

   $\Leftrightarrow \Delta’ \geqslant 0$

   $\Leftrightarrow 9 – (6m-m^2) \geqslant 0$

   $\Leftrightarrow (m-3)^2 \geqslant 0$ (luôn đúng)

   $\Rightarrow$ Phương trình luôn có hai nghiệm

   $(*)\Leftrightarrow (x+m)(x-m+6)= 0$

   $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = – m\\x = m -6\end{array}\right.$

   $+)\quad TH1: \left[\begin{array}{l}x_1= – m\\x_2 = m -6\end{array}\right.$

   Khi đó:

   $\quad x_1^3 – x_2^3 + 2x_1^2 + 12x_1 + 72 = 0$

   $\Leftrightarrow x_1^3 – x_2^3 + 2(x_1^2 + 6x_1) + 72 = 0$

   $\Leftrightarrow (-m)^3 – (m-6)^3 + 2(m^2-6m) + 72 = 0$

   $\Leftrightarrow 2m^3 – 20m^2 + 120m – 288 = 0$

   $\Leftrightarrow m = 4$

   $+)\quad TH2:\left[\begin{array}{l}x_1= m- 6\\x_2 = -m\end{array}\right.$

   Khi đó:

   $\quad x_1^3 – x_2^3 + 2x_1^2 + 12x_1 + 72 = 0$

   $\Leftrightarrow (m-6)^2 – (-m)^3 + 2(m^2 – 6) + 72 = 0$

   $\Leftrightarrow 2m^3 – 16m^2 + 96m – 144 = 0$

   $\Leftrightarrow m = 2$

   Vậy $m \in \{2;4\}$

   Bình luận